MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plysub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plysub 23724
Description: The difference of two polynomials is a polynomial. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyadd.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.2 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plyadd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plymul.4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plysub.5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
plysub (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝐺,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem plysub
StepHypRef Expression
1 cnex 9874 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 plyadd.1 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
4 plyf 23703 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
53, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
6 plyadd.2 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
7 plyf 23703 . . . 4 (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝐺:ℂ⟶ℂ)
86, 7syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:ℂ⟶ℂ)
9 ofnegsub 10868 . . 3 ((ℂ ∈ V ∧ 𝐹:ℂ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℂ⟶ℂ) → (𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
102, 5, 8, 9syl3anc 1317 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝐹𝑓𝐺))
11 plybss 23699 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 𝑆 ⊆ ℂ)
123, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
13 plysub.5 . . . . 5 (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
14 plyconst 23711 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ -1 ∈ 𝑆) → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
1512, 13, 14syl2anc 690 . . . 4 (𝜑 → (ℂ × {-1}) ∈ (Poly‘𝑆))
16 plyadd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
17 plymul.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
1815, 6, 16, 17plymul 23723 . . 3 (𝜑 → ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
193, 18, 16plyadd 23722 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 + ((ℂ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ (Poly‘𝑆))
2010, 19eqeltrrd 2688 1 (𝜑 → (𝐹𝑓𝐺) ∈ (Poly‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  wss 3539  {csn 4124   × cxp 5026  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑓 cof 6771  cc 9791  1c1 9794   + caddc 9796   · cmul 9798  cmin 10118  -cneg 10119  Polycply 23689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-oi 8276  df-card 8626  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-rp 11668  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-ply 23693
This theorem is referenced by:  plysubcl  23727  plydivlem2  23798  plydivlem4  23800  plydiveu  23802  qaa  23827  taylply2  23871  mpaaeu  36563
  Copyright terms: Public domain W3C validator