MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyval 23698
Description: Value of the polynomial set function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
plyval (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑛,𝑧,𝑓,𝑆

Proof of Theorem plyval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9874 . . 3 ℂ ∈ V
21elpw2 4750 . 2 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ ↔ 𝑆 ⊆ ℂ)
3 uneq1 3721 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑆 → (𝑥 ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0}))
43oveq1d 6542 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑆 → ((𝑥 ∪ {0}) ↑𝑚0) = ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0))
54rexeqdv 3121 . . . . 5 (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ ∃𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
65rexbidv 3033 . . . 4 (𝑥 = 𝑆 → (∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))))
76abbidv 2727 . . 3 (𝑥 = 𝑆 → {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
8 df-ply 23693 . . 3 Poly = (𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ↦ {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑥 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
9 nn0ex 11148 . . . 4 0 ∈ V
10 ovex 6555 . . . 4 ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0) ∈ V
119, 10ab2rexex 7028 . . 3 {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))} ∈ V
127, 8, 11fvmpt 6176 . 2 (𝑆 ∈ 𝒫 ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
132, 12sylbir 223 1 (𝑆 ⊆ ℂ → (Poly‘𝑆) = {𝑓 ∣ ∃𝑛 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑𝑚0)𝑓 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝑎𝑘) · (𝑧𝑘)))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  {cab 2595  wrex 2896  cun 3537  wss 3539  𝒫 cpw 4107  {csn 4124  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7722  cc 9791  0cc0 9793   · cmul 9798  0cn0 11142  ...cfz 12155  cexp 12680  Σcsu 14213  Polycply 23689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-nn 10871  df-n0 11143  df-ply 23693
This theorem is referenced by:  elply  23700  plyss  23704
  Copyright terms: Public domain W3C validator