Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmap11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmap11 36778
Description: The projective map of a Hilbert lattice is one-to-one. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmap11.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmap11.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmap11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem pmap11
StepHypRef Expression
1 hllat 36379 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 pmap11.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 eqid 2818 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
42, 3latasymb 17652 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
51, 4syl3an1 1155 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6 pmap11.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
72, 3, 6pmaple 36777 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌)))
82, 3, 6pmaple 36777 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
983com23 1118 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
107, 9anbi12d 630 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋))))
115, 10bitr3d 282 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋))))
12 eqss 3979 . 2 ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
1311, 12syl6rbbr 291 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  cfv 6348  Basecbs 16471  lecple 16560  Latclat 17643  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-pmap 36520
This theorem is referenced by:  pmapeq0  36782  isline3  36792  lncvrelatN  36797
  Copyright terms: Public domain W3C validator