Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmap11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmap11 33869
Description: The projective map of a Hilbert lattice is one-to-one. Part of Theorem 15.5 of [MaedaMaeda] p. 62. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
pmap11.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmap11.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmap11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem pmap11
StepHypRef Expression
1 hllat 33471 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 pmap11.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 eqid 2609 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
42, 3latasymb 16823 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
51, 4syl3an1 1350 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋 = 𝑌))
6 pmap11.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
72, 3, 6pmaple 33868 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌)))
82, 3, 6pmaple 33868 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
983com23 1262 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑌(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
107, 9anbi12d 742 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑌(le‘𝐾)𝑋) ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋))))
115, 10bitr3d 268 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 = 𝑌 ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋))))
12 eqss 3582 . 2 ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (𝑀𝑌) ∧ (𝑀𝑌) ⊆ (𝑀𝑋)))
1311, 12syl6rbbr 277 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539   class class class wbr 4577  cfv 5790  Basecbs 15641  lecple 15721  Latclat 16814  HLchlt 33458  pmapcpmap 33604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-pmap 33611
This theorem is referenced by:  pmapeq0  33873  isline3  33883  lncvrelatN  33888
  Copyright terms: Public domain W3C validator