Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapeq0 34529
Description: A projective map value is zero iff its argument is lattice zero. (Contributed by NM, 27-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapeq0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapeq0.z 0 = (0.‘𝐾)
pmapeq0.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapeq0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem pmapeq0
StepHypRef Expression
1 hlatl 34124 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
21adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
3 pmapeq0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
4 pmapeq0.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
53, 4pmap0 34528 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀0 ) = ∅)
62, 5syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀0 ) = ∅)
76eqeq2d 2631 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ (𝑀𝑋) = ∅))
8 hlop 34126 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10 pmapeq0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1110, 3op0cl 33948 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
129, 11syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
1310, 4pmap11 34525 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
1412, 13mpd3an3 1422 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = (𝑀0 ) ↔ 𝑋 = 0 ))
157, 14bitr3d 270 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  c0 3891  cfv 5847  Basecbs 15781  0.cp0 16958  OPcops 33936  AtLatcal 34028  HLchlt 34114  pmapcpmap 34260
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-preset 16849  df-poset 16867  df-plt 16879  df-lub 16895  df-glb 16896  df-join 16897  df-meet 16898  df-p0 16960  df-lat 16967  df-clat 17029  df-oposet 33940  df-ol 33942  df-oml 33943  df-covers 34030  df-ats 34031  df-atl 34062  df-cvlat 34086  df-hlat 34115  df-pmap 34267
This theorem is referenced by:  pmapjat1  34616
  Copyright terms: Public domain W3C validator