Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat1 35457
Description: The projective map of the join of a lattice element and an atom. (Contributed by NM, 28-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjat1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))

Proof of Theorem pmapjat1
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1081 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 34894 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
543ad2ant3 1104 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
6 pmapjat.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
72, 3, 6pmapssat 35363 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
81, 5, 7syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
9 pmapjat.p . . . . . 6 + = (+𝑃𝐾)
103, 9padd02 35416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
111, 8, 10syl2anc 694 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
1211adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (∅ + (𝑀𝑄)) = (𝑀𝑄))
13 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑀𝑋) = (𝑀‘(0.‘𝐾)))
14 hlatl 34965 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
15143ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
16 eqid 2651 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
1716, 6pmap0 35369 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1815, 17syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(0.‘𝐾)) = ∅)
1913, 18sylan9eqr 2707 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) = ∅)
2019oveq1d 6705 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) = (∅ + (𝑀𝑄)))
21 oveq1 6697 . . . . 5 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋 𝑄) = ((0.‘𝐾) 𝑄))
22 hlol 34966 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
23223ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
24 pmapjat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
252, 24, 16olj02 34831 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑄𝐵) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2623, 5, 25syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((0.‘𝐾) 𝑄) = 𝑄)
2721, 26sylan9eqr 2707 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑋 𝑄) = 𝑄)
2827fveq2d 6233 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = (𝑀𝑄))
2912, 20, 283eqtr4rd 2696 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 = (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
30 simpll1 1120 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝐾 ∈ HL)
32 simpll2 1121 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑋𝐵)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋𝐵)
34 simplr 807 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝𝐴)
35 simpll3 1122 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑄𝐴)
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑄𝐴)
3733, 34, 363jca 1261 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴))
38 simpllr 815 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
39 simpr 476 . . . . . . . . 9 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))
40 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
412, 40, 24, 16, 3cvrat42 35048 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
4241imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑝𝐴𝑄𝐴)) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4331, 37, 38, 39, 42syl22anc 1367 . . . . . . . 8 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
4443ex 449 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
452, 40, 3, 6elpmap 35362 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
46453adant3 1101 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ↔ (𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋)))
47 df-rex 2947 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
483, 6elpmapat 35368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
49483adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ↔ 𝑟 = 𝑄))
5049anbi1d 741 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5150exbidv 1890 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 ∈ (𝑀𝑄) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
5247, 51syl5rbb 273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
53 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑄 → (𝑞 𝑟) = (𝑞 𝑄))
5453breq2d 4697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑄 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5554ceqsexgv 3366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑄𝐴 → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
56553ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟(𝑟 = 𝑄𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5752, 56bitr3d 270 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))
5846, 57anbi12d 747 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ ((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
59 anass 682 . . . . . . . . . 10 (((𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑋) ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6058, 59syl6bb 276 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑞 ∈ (𝑀𝑋) ∧ ∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)) ↔ (𝑞𝐴 ∧ (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄)))))
6160rexbidv2 3077 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6261ad2antrr 762 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑞(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑄))))
6344, 62sylibrd 249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) ∧ 𝑝𝐴) → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄) → ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟)))
6463imdistanda 729 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄)) → (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
65 hllat 34968 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
66653ad2ant1 1102 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
67 simp2 1082 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑋𝐵)
682, 24latjcl 17098 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
6966, 67, 5, 68syl3anc 1366 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
702, 40, 3, 6elpmap 35362 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
711, 69, 70syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
7271adantr 480 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ↔ (𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑄))))
732, 3, 6pmapssat 35363 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
74733adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7566, 74, 83jca 1261 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
7675adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴))
772, 16, 6pmapeq0 35370 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
78773adant3 1101 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) = ∅ ↔ 𝑋 = (0.‘𝐾)))
7978necon3bid 2867 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ↔ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
8079biimpar 501 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑋) ≠ ∅)
81 simp3 1083 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐴)
8216, 3atn0 34913 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
8315, 81, 82syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄 ≠ (0.‘𝐾))
842, 16, 6pmapeq0 35370 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
851, 5, 84syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) = ∅ ↔ 𝑄 = (0.‘𝐾)))
8685necon3bid 2867 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) ≠ ∅ ↔ 𝑄 ≠ (0.‘𝐾)))
8783, 86mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8887adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀𝑄) ≠ ∅)
8940, 24, 3, 9elpaddn0 35404 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴) ∧ ((𝑀𝑋) ≠ ∅ ∧ (𝑀𝑄) ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9076, 80, 88, 89syl12anc 1364 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞 ∈ (𝑀𝑋)∃𝑟 ∈ (𝑀𝑄)𝑝(le‘𝐾)(𝑞 𝑟))))
9164, 72, 903imtr4d 283 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑝 ∈ (𝑀‘(𝑋 𝑄)) → 𝑝 ∈ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄))))
9291ssrdv 3642 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) ⊆ ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
932, 24, 6, 9pmapjoin 35456 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9466, 67, 5, 93syl3anc 1366 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9594adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) ⊆ (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
9692, 95eqssd 3653 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) ∧ 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
9729, 96pm2.61dane 2910 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  lecple 15995  joincjn 16991  0.cp0 17084  Latclat 17092  OLcol 34779  Atomscatm 34868  AtLatcal 34869  HLchlt 34955  pmapcpmap 35101  +𝑃cpadd 35399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-clat 17155  df-oposet 34781  df-ol 34783  df-oml 34784  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-pmap 35108  df-padd 35400
This theorem is referenced by:  pmapjat2  35458  pmapjlln1  35459  atmod1i2  35463  paddatclN  35553
  Copyright terms: Public domain W3C validator