Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapocjN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapocjN 36946
Description: The projective map of the orthocomplement of the join of two lattice elements. (Contributed by NM, 14-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapocj.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapocj.j = (join‘𝐾)
pmapocj.m = (meet‘𝐾)
pmapocj.o = (oc‘𝐾)
pmapocj.f 𝐹 = (pmap‘𝐾)
pmapocj.p + = (+𝑃𝐾)
pmapocj.r 𝑁 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapocjN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))

Proof of Theorem pmapocjN
StepHypRef Expression
1 pmapocj.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapocj.j . . . 4 = (join‘𝐾)
3 pmapocj.f . . . 4 𝐹 = (pmap‘𝐾)
4 pmapocj.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
5 pmapocj.r . . . 4 𝑁 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapj2N 36945 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘(𝑋 𝑌)) = (𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)))))
76fveq2d 6667 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 𝑌))) = (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))))
8 simp1 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
9 hllat 36379 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
101, 2latjcl 17649 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
119, 10syl3an1 1155 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
12 pmapocj.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
131, 12, 3, 5polpmapN 36928 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 𝑌))) = (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))))
148, 11, 13syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝐹‘(𝑋 𝑌))) = (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))))
15 eqid 2818 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
161, 15, 3pmapssat 36775 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
17163adant3 1124 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
181, 15, 3pmapssat 36775 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
19183adant2 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾))
2015, 4paddssat 36830 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝐹𝑌) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
218, 17, 19, 20syl3anc 1363 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾))
2215, 53polN 36932 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌)) ⊆ (Atoms‘𝐾)) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))
238, 21, 22syl2anc 584 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘(𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))
247, 14, 233eqtr3d 2861 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝐹‘( ‘(𝑋 𝑌))) = (𝑁‘((𝐹𝑋) + (𝐹𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  occoc 16561  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513  +𝑃cpadd 36811  𝑃cpolN 36918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-undef 7928  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-polarityN 36919
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator