MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpclem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmltpclem1 22900
Description: Lemma for pmltpc 22902. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpclem1.1 (𝜑𝐴𝑆)
pmltpclem1.2 (𝜑𝐵𝑆)
pmltpclem1.3 (𝜑𝐶𝑆)
pmltpclem1.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
pmltpclem1.5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
pmltpclem1.6 (𝜑 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))
Assertion
Ref Expression
pmltpclem1 (𝜑 → ∃𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐𝑆 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐴   𝐵,𝑏,𝑐   𝐶,𝑐   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐   𝑆,𝑎,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑐)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem pmltpclem1
StepHypRef Expression
1 pmltpclem1.1 . 2 (𝜑𝐴𝑆)
2 pmltpclem1.2 . 2 (𝜑𝐵𝑆)
3 pmltpclem1.3 . 2 (𝜑𝐶𝑆)
4 pmltpclem1.4 . 2 (𝜑𝐴 < 𝐵)
5 pmltpclem1.5 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐶)
6 pmltpclem1.6 . 2 (𝜑 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))
7 breq1 4484 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 < 𝑏𝐴 < 𝑏))
8 fveq2 5986 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝐴 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝐴))
98breq1d 4491 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝑏)))
109anbi1d 736 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ↔ ((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏))))
118breq2d 4493 . . . . . 6 (𝑎 = 𝐴 → ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑏) < (𝐹𝐴)))
1211anbi1d 736 . . . . 5 (𝑎 = 𝐴 → (((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))))
1310, 12orbi12d 741 . . . 4 (𝑎 = 𝐴 → ((((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))) ↔ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
147, 133anbi13d 1392 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))) ↔ (𝐴 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))))))
15 breq2 4485 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 < 𝑏𝐴 < 𝐵))
16 breq1 4484 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 < 𝑐𝐵 < 𝑐))
17 fveq2 5986 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐵 → (𝐹𝑏) = (𝐹𝐵))
1817breq2d 4493 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐵)))
1917breq2d 4493 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) < (𝐹𝑏) ↔ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)))
2018, 19anbi12d 742 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ↔ ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵))))
2117breq1d 4491 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ↔ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐴)))
2217breq1d 4491 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)))
2321, 22anbi12d 742 . . . . 5 (𝑏 = 𝐵 → (((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐))))
2420, 23orbi12d 741 . . . 4 (𝑏 = 𝐵 → ((((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐))) ↔ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)))))
2515, 16, 243anbi123d 1390 . . 3 (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐))))))
26 breq2 4485 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → (𝐵 < 𝑐𝐵 < 𝐶))
27 fveq2 5986 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐶 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐶))
2827breq1d 4491 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐹𝑐) < (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
2928anbi2d 735 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ↔ ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵))))
3027breq2d 4493 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐹𝐵) < (𝐹𝑐) ↔ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶)))
3130anbi2d 735 . . . . 5 (𝑐 = 𝐶 → (((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)) ↔ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))
3229, 31orbi12d 741 . . . 4 (𝑐 = 𝐶 → ((((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐))) ↔ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶)))))
3326, 323anbi23d 1393 . . 3 (𝑐 = 𝐶 → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝑐)))) ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))))
3414, 25, 33rspc3ev 3201 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) ∧ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐶 ∧ (((𝐹𝐴) < (𝐹𝐵) ∧ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)) ∨ ((𝐹𝐵) < (𝐹𝐴) ∧ (𝐹𝐵) < (𝐹𝐶))))) → ∃𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐𝑆 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
351, 2, 3, 4, 5, 6, 34syl33anc 1332 1 (𝜑 → ∃𝑎𝑆𝑏𝑆𝑐𝑆 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wrex 2801   class class class wbr 4481  cfv 5689   < clt 9828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3079  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-iota 5653  df-fv 5697
This theorem is referenced by:  pmltpclem2  22901
  Copyright terms: Public domain W3C validator