MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmltpclem2 22942
Description: Lemma for pmltpc 22943. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
pmltpc.2 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
pmltpc.3 (𝜑𝑈𝐴)
pmltpc.4 (𝜑𝑉𝐴)
pmltpc.5 (𝜑𝑊𝐴)
pmltpc.6 (𝜑𝑋𝐴)
pmltpc.7 (𝜑𝑈𝑉)
pmltpc.8 (𝜑𝑊𝑋)
pmltpc.9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
pmltpc.10 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐴   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐   𝑈,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5 (𝜑𝑊𝐴)
21ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊𝐴)
3 pmltpc.3 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐴)
43ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈𝐴)
5 pmltpc.4 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐴)
65ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑉𝐴)
7 simpr 475 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊 < 𝑈)
8 pmltpc.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
9 reex 9883 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ V
109, 9elpm2 7752 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
118, 10sylib 206 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
1211simpld 473 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
13 pmltpc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
1413, 5sseldd 3568 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ dom 𝐹)
1512, 14ffvelrnd 6253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
16 pmltpc.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
1713, 3sseldd 3568 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈 ∈ dom 𝐹)
1812, 17ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
1915, 18ltnled 10035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉)))
2016, 19mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
2115, 20gtned 10023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉))
22 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑈))
2322eqcomd 2615 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑉))
2423necon3i 2813 . . . . . . 7 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑈)
2521, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝑈)
2611simprd 477 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
2726, 17sseldd 3568 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2826, 14sseldd 3568 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
29 pmltpc.7 . . . . . . 7 (𝜑𝑈𝑉)
3027, 28, 29leltned 10041 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 < 𝑉𝑉𝑈))
3125, 30mpbird 245 . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑉)
3231ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈 < 𝑉)
33 simplr 787 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
3420ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
3533, 34jca 552 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)))
3635orcd 405 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)) ∨ ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉))))
372, 4, 6, 7, 32, 36pmltpclem1 22941 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
383ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝐴)
391ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝐴)
40 pmltpc.6 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐴)
4140ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑋𝐴)
4213, 1sseldd 3568 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝐹)
4312, 42ffvelrnd 6253 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
4443ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
45 simplr 787 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
4644, 45gtned 10023 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊))
47 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑊) = (𝐹𝑈))
4847eqcomd 2615 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑊))
4948necon3i 2813 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑊𝑈)
5046, 49syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝑈)
5127ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 ∈ ℝ)
5226, 42sseldd 3568 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
5352ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 ∈ ℝ)
54 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝑊)
5551, 53, 54leltned 10041 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝑈 < 𝑊𝑊𝑈))
5650, 55mpbird 245 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 < 𝑊)
57 pmltpc.10 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
5813, 40sseldd 3568 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
5912, 58ffvelrnd 6253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6043, 59ltnled 10035 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ↔ ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊)))
6157, 60mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
6243, 61gtned 10023 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊))
63 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑊 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑊))
6463necon3i 2813 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑋𝑊)
6562, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
6626, 58sseldd 3568 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
67 pmltpc.8 . . . . . . 7 (𝜑𝑊𝑋)
6852, 66, 67leltned 10041 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊 < 𝑋𝑋𝑊))
6965, 68mpbird 245 . . . . 5 (𝜑𝑊 < 𝑋)
7069ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 < 𝑋)
7161ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
7245, 71jca 552 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋)))
7372olcd 406 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑊)) ∨ ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))))
7438, 39, 41, 56, 70, 73pmltpclem1 22941 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
7552adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑊 ∈ ℝ)
7627adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑈 ∈ ℝ)
7737, 74, 75, 76ltlecasei 9996 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
783ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈𝐴)
795ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉𝐴)
8040ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑋𝐴)
8131ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈 < 𝑉)
82 simpr 475 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉 < 𝑋)
8320ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8415adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
8518adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8659adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
8720adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8843adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
89 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊))
9061adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
9185, 88, 86, 89, 90lelttrd 10046 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑋))
9284, 85, 86, 87, 91lttrd 10049 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9392adantr 479 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9483, 93jca 552 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
9594olcd 406 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑉) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉)) ∨ ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))))
9678, 79, 80, 81, 82, 95pmltpclem1 22941 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
971ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊𝐴)
9840ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝐴)
995ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝐴)
10069ad2antrr 757 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 < 𝑋)
10115ad2antrr 757 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
10292adantr 479 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
103101, 102gtned 10023 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉))
104 fveq2 6088 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑋))
105104eqcomd 2615 . . . . . . 7 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑉))
106105necon3i 2813 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑋)
107103, 106syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝑋)
10866ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ ℝ)
10928ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ℝ)
110 simpr 475 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
111108, 109, 110leltned 10041 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 < 𝑉𝑉𝑋))
112107, 111mpbird 245 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 < 𝑉)
11361ad2antrr 757 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
114113, 102jca 552 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
115114orcd 405 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)) ∨ ((𝐹𝑋) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉))))
11697, 98, 99, 100, 112, 115pmltpclem1 22941 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
11728adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑉 ∈ ℝ)
11866adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11996, 116, 117, 118ltlecasei 9996 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
12077, 119, 43, 18ltlecasei 9996 1 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  wss 3539   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  pm cpm 7722  cr 9791   < clt 9930  cle 9931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7606  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936
This theorem is referenced by:  pmltpc  22943
  Copyright terms: Public domain W3C validator