MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmltpclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmltpclem2 23977
Description: Lemma for pmltpc 23978. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pmltpc.1 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
pmltpc.2 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
pmltpc.3 (𝜑𝑈𝐴)
pmltpc.4 (𝜑𝑉𝐴)
pmltpc.5 (𝜑𝑊𝐴)
pmltpc.6 (𝜑𝑋𝐴)
pmltpc.7 (𝜑𝑈𝑉)
pmltpc.8 (𝜑𝑊𝑋)
pmltpc.9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
pmltpc.10 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
Assertion
Ref Expression
pmltpclem2 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝐴   𝐹,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑏,𝑐   𝑈,𝑎,𝑏,𝑐   𝑊,𝑎,𝑏,𝑐   𝑋,𝑏,𝑐
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏,𝑐)   𝑉(𝑎)   𝑋(𝑎)

Proof of Theorem pmltpclem2
StepHypRef Expression
1 pmltpc.5 . . . . 5 (𝜑𝑊𝐴)
21ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊𝐴)
3 pmltpc.3 . . . . 5 (𝜑𝑈𝐴)
43ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈𝐴)
5 pmltpc.4 . . . . 5 (𝜑𝑉𝐴)
65ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑉𝐴)
7 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑊 < 𝑈)
8 pmltpc.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ))
9 reex 10616 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
109, 9elpm2 8427 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑pm ℝ) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
118, 10sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℝ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
1211simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
13 pmltpc.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ⊆ dom 𝐹)
1413, 3sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ dom 𝐹)
1512, 14sseldd 3965 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
1613, 5sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ dom 𝐹)
1712, 16sseldd 3965 . . . . . 6 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
18 pmltpc.7 . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑉)
1911simpld 495 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2019, 16ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
21 pmltpc.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉))
2219, 14ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
2320, 22ltnled 10775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ↔ ¬ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑉)))
2421, 23mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
2520, 24gtned 10763 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉))
26 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑈))
2726eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑉))
2827necon3i 3045 . . . . . . 7 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑈)
2925, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑉𝑈)
3015, 17, 18, 29leneltd 10782 . . . . 5 (𝜑𝑈 < 𝑉)
3130ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → 𝑈 < 𝑉)
32 simplr 765 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
3324ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
3432, 33jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)))
3534orcd 869 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈)) ∨ ((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑈) < (𝐹𝑉))))
362, 4, 6, 7, 31, 35pmltpclem1 23976 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑊 < 𝑈) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
373ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝐴)
381ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝐴)
39 pmltpc.6 . . . . 5 (𝜑𝑋𝐴)
4039ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑋𝐴)
4115ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 ∈ ℝ)
4213, 1sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ dom 𝐹)
4312, 42sseldd 3965 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
4443ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 ∈ ℝ)
45 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈𝑊)
4619, 42ffvelrnd 6844 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
4746ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
48 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈))
4947, 48gtned 10763 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊))
50 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑊) = (𝐹𝑈))
5150eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝑊 = 𝑈 → (𝐹𝑈) = (𝐹𝑊))
5251necon3i 3045 . . . . . 6 ((𝐹𝑈) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑊𝑈)
5349, 52syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊𝑈)
5441, 44, 45, 53leneltd 10782 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑈 < 𝑊)
5513, 39sseldd 3965 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ dom 𝐹)
5612, 55sseldd 3965 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
57 pmltpc.8 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑋)
58 pmltpc.10 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊))
5919, 55ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
6046, 59ltnled 10775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ↔ ¬ (𝐹𝑋) ≤ (𝐹𝑊)))
6158, 60mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
6246, 61gtned 10763 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊))
63 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑋 = 𝑊 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑊))
6463necon3i 3045 . . . . . . 7 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑊) → 𝑋𝑊)
6562, 64syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑊)
6643, 56, 57, 65leneltd 10782 . . . . 5 (𝜑𝑊 < 𝑋)
6766ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → 𝑊 < 𝑋)
6861ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
6948, 68jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋)))
7069olcd 870 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑊)) ∨ ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))))
7137, 38, 40, 54, 67, 70pmltpclem1 23976 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) ∧ 𝑈𝑊) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
7243adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑊 ∈ ℝ)
7315adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → 𝑈 ∈ ℝ)
7436, 71, 72, 73ltlecasei 10736 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑊) < (𝐹𝑈)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
753ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈𝐴)
765ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉𝐴)
7739ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑋𝐴)
7830ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑈 < 𝑉)
79 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → 𝑉 < 𝑋)
8024ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8120adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
8222adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ∈ ℝ)
8359adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
8424adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑈))
8546adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) ∈ ℝ)
86 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊))
8761adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
8882, 85, 83, 86, 87lelttrd 10786 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑈) < (𝐹𝑋))
8981, 82, 83, 84, 88lttrd 10789 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9089adantr 481 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
9180, 90jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
9291olcd 870 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → (((𝐹𝑈) < (𝐹𝑉) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉)) ∨ ((𝐹𝑉) < (𝐹𝑈) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))))
9375, 76, 77, 78, 79, 92pmltpclem1 23976 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑉 < 𝑋) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
941ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊𝐴)
9539ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝐴)
965ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝐴)
9766ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑊 < 𝑋)
9856ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ ℝ)
9917ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉 ∈ ℝ)
100 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
10120ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) ∈ ℝ)
10289adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋))
103101, 102gtned 10763 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉))
104 fveq2 6663 . . . . . . . 8 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑉) = (𝐹𝑋))
105104eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝑉 = 𝑋 → (𝐹𝑋) = (𝐹𝑉))
106105necon3i 3045 . . . . . 6 ((𝐹𝑋) ≠ (𝐹𝑉) → 𝑉𝑋)
107103, 106syl 17 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑉𝑋)
10898, 99, 100, 107leneltd 10782 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 < 𝑉)
10961ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (𝐹𝑊) < (𝐹𝑋))
110109, 102jca 512 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)))
111110orcd 869 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝐹𝑊) < (𝐹𝑋) ∧ (𝐹𝑉) < (𝐹𝑋)) ∨ ((𝐹𝑋) < (𝐹𝑊) ∧ (𝐹𝑋) < (𝐹𝑉))))
11294, 95, 96, 97, 108, 111pmltpclem1 23976 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) ∧ 𝑋𝑉) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
11317adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑉 ∈ ℝ)
11456adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → 𝑋 ∈ ℝ)
11593, 112, 113, 114ltlecasei 10736 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑈) ≤ (𝐹𝑊)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
11674, 115, 46, 22ltlecasei 10736 1 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑏𝐴𝑐𝐴 (𝑎 < 𝑏𝑏 < 𝑐 ∧ (((𝐹𝑎) < (𝐹𝑏) ∧ (𝐹𝑐) < (𝐹𝑏)) ∨ ((𝐹𝑏) < (𝐹𝑎) ∧ (𝐹𝑏) < (𝐹𝑐)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  pm cpm 8396  cr 10524   < clt 10663  cle 10664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669
This theorem is referenced by:  pmltpc  23978
  Copyright terms: Public domain W3C validator