Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod1i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod1i 33955
Description: The modular law holds in a projective subspace. (Contributed by NM, 10-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod1i ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍))))

Proof of Theorem pmod1i
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2 eqid 2609 . . . . 5 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3 pmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmod.s . . . . 5 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5 pmod.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmodlem2 33954 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
763expa 1256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
8 inss1 3794 . . . . 5 (𝑌𝑍) ⊆ 𝑌
9 simpll 785 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
10 simplr2 1096 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑌𝐴)
11 simplr1 1095 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝐴)
123, 5paddss2 33925 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴𝑋𝐴) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
139, 10, 11, 12syl3anc 1317 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
148, 13mpi 20 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
163, 4psubssat 33861 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → 𝑍𝐴)
17163ad2antr3 1220 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑍𝐴)
18 simpr2 1060 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → 𝑌𝐴)
19 ssinss1 3802 . . . . . . . 8 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
213, 5paddss1 33924 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑋𝑍 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍))))
2215, 17, 20, 21syl3anc 1317 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍))))
2322imp 443 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌𝑍)))
24 simplr3 1097 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍𝑆)
259, 24, 16syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑍𝐴)
26 inss2 3795 . . . . . . . 8 (𝑌𝑍) ⊆ 𝑍
273, 5paddss2 33925 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑍) ⊆ 𝑍 → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
2826, 27mpi 20 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝐴𝑍𝐴) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
299, 25, 25, 28syl3anc 1317 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
304, 5paddidm 33948 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
319, 24, 30syl2anc 690 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
3229, 31sseqtrd 3603 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑍 + (𝑌𝑍)) ⊆ 𝑍)
3323, 32sstrd 3577 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ 𝑍)
3414, 33ssind 3798 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + (𝑌𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍))
357, 34eqssd 3584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3635ex 448 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆)) → (𝑋𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3538  wss 3539  cfv 5790  (class class class)co 6527  lecple 15721  joincjn 16713  Atomscatm 33371  HLchlt 33458  PSubSpcpsubsp 33603  +𝑃cpadd 33902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-psubsp 33610  df-padd 33903
This theorem is referenced by:  pmod2iN  33956  pmodN  33957  pmodl42N  33958  hlmod1i  33963
  Copyright terms: Public domain W3C validator