Theorem pmod1i 36986

Description: The modular law holds in a projective subspace. (Contributed by NM, 10-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmod1i	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

Proof of Theorem pmod1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmod.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmodlem2 36985	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
7	6	3expa 1114	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
8		inss1 4207	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌
9		simpll 765	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
10		simplr2 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
11		simplr1 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
12	3, 5	paddss2 36956	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
13	9, 10, 11, 12	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑌 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌)))
14	8, 13	mpi 20	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑋 + 𝑌))
15		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝐾 ∈ HL)
16	3, 4	psubssat 36892	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
17	16	3ad2antr3 1186	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
18		simpr2 1191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
19		ssinss1 4216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ⊆ 𝐴 → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
20	18, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
21	3, 5	paddss1 36955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
22	15, 17, 20, 21	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍))))
23	22	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
24		simplr3 1213	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ∈ 𝑆)
25	9, 24, 16	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
26		inss2 4208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
27	3, 5	paddss2 36956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → ((𝑌 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍 → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍)))
28	26, 27	mpi 20	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
29	9, 25, 25, 28	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ (𝑍 + 𝑍))
30	4, 5	paddidm 36979	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ 𝑆) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
31	9, 24, 30	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + 𝑍) = 𝑍)
32	29, 31	sseqtrd 4009	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑍 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
33	23, 32	sstrd 3979	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ 𝑍)
34	14, 33	ssind 4211	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)) ⊆ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍))
35	7, 34	eqssd 3986	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑋 ⊆ 𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍)))
36	35	ex 415	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝑆)) → (𝑋 ⊆ 𝑍 → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 ∩ 𝑍))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  lecple 16574  joincjn 17556  Atomscatm 36401  HLchlt 36488  PSubSpcpsubsp 36634  +_𝑃cpadd 36933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-psubsp 36641  df-padd 36934

This theorem is referenced by:  pmod2iN  36987  pmodN  36988  pmodl42N  36989  hlmod1i  36994