Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod2iN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod2iN 33936
Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod2iN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN
StepHypRef Expression
1 incom 3766 . . . . . 6 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21oveq1i 6536 . . . . 5 ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌𝑋) + 𝑍)
3 hllat 33451 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1074 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1087 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑌𝐴)
6 ssinss1 3802 . . . . . . 7 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
8 simp23 1088 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑍𝐴)
9 pmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 pmod.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddcom 33900 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
124, 7, 8, 11syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
132, 12syl5eq 2655 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
14 simp21 1086 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑋𝑆)
158, 5, 143jca 1234 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
16 pmod.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
179, 16, 10pmod1i 33935 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (𝑍𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋))))
18173impia 1252 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
1915, 18syld3an2 1364 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
209, 10paddcom 33900 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
214, 8, 5, 20syl3anc 1317 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
2221ineq1d 3774 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
2313, 19, 223eqtr2d 2649 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24 incom 3766 . . 3 ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
2523, 24syl6eq 2659 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26253expia 1258 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3538  wss 3539  cfv 5789  (class class class)co 6526  Latclat 16816  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  PSubSpcpsubsp 33583  +𝑃cpadd 33882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-lat 16817  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-psubsp 33590  df-padd 33883
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator