Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmod2iN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmod2iN 36865
Description: Dual of the modular law. (Contributed by NM, 8-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmod2iN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))

Proof of Theorem pmod2iN
StepHypRef Expression
1 incom 4175 . . . . . 6 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
21oveq1i 7155 . . . . 5 ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌𝑋) + 𝑍)
3 hllat 36379 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp22 1199 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑌𝐴)
6 ssinss1 4211 . . . . . . 7 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴)
8 simp23 1200 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑍𝐴)
9 pmod.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 pmod.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
119, 10paddcom 36829 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝑋) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
124, 7, 8, 11syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑌𝑋) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
132, 12syl5eq 2865 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
14 simp21 1198 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → 𝑋𝑆)
158, 5, 143jca 1120 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
16 pmod.s . . . . . . 7 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
179, 16, 10pmod1i 36864 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (𝑍𝑋 → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋))))
18173impia 1109 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑍𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
1915, 18syld3an2 1403 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = (𝑍 + (𝑌𝑋)))
209, 10paddcom 36829 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐴𝑌𝐴) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
214, 8, 5, 20syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → (𝑍 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑍))
2221ineq1d 4185 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑍 + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
2313, 19, 223eqtr2d 2859 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋))
24 incom 4175 . . 3 ((𝑌 + 𝑍) ∩ 𝑋) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))
2523, 24syl6eq 2869 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ 𝑍𝑋) → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍)))
26253expia 1113 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋𝑌) + 𝑍) = (𝑋 ∩ (𝑌 + 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  cfv 6348  (class class class)co 7145  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  PSubSpcpsubsp 36512  +𝑃cpadd 36811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-psubsp 36519  df-padd 36812
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator