Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodN 35454
 Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)))

Proof of Theorem pmodN
StepHypRef Expression
1 incom 3838 . 2 (𝑋 ∩ ((𝑋𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2 hllat 34968 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr2 1088 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
5 inss2 3867 . . . . 5 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑍
6 simpr3 1089 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
75, 6syl5ss 3647 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴)
8 pmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 pmod.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
108, 9paddcom 35417 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴 ∧ (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + 𝑌))
113, 4, 7, 10syl3anc 1366 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + 𝑌))
1211ineq2d 3847 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋𝑍) + 𝑌)))
13 incom 3838 . . . 4 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
1413oveq2i 6701 . . 3 ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋))
15 inss2 3867 . . . . 5 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
1615, 4syl5ss 3647 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
178, 9paddcom 35417 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)))
183, 16, 7, 17syl3anc 1366 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)))
19 simpr1 1087 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝑆)
207, 4, 193jca 1261 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
21 inss1 3866 . . . . 5 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑋
22 pmod.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
238, 22, 9pmod1i 35452 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → ((𝑋𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋))))
2421, 23mpi 20 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋)))
2520, 24syldan 486 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋)))
2614, 18, 253eqtr4a 2711 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
271, 12, 263eqtr4a 2711 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  PSubSpcpsubsp 35100  +𝑃cpadd 35399 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-padd 35400 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator