Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodN 33957
Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)))

Proof of Theorem pmodN
StepHypRef Expression
1 incom 3766 . 2 (𝑋 ∩ ((𝑋𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2 hllat 33471 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr2 1060 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
5 inss2 3795 . . . . 5 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑍
6 simpr3 1061 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
75, 6syl5ss 3578 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴)
8 pmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 pmod.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
108, 9paddcom 33920 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴 ∧ (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + 𝑌))
113, 4, 7, 10syl3anc 1317 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + 𝑌))
1211ineq2d 3775 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋𝑍) + 𝑌)))
13 incom 3766 . . . 4 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
1413oveq2i 6538 . . 3 ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋))
15 inss2 3795 . . . . 5 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
1615, 4syl5ss 3578 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
178, 9paddcom 33920 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)))
183, 16, 7, 17syl3anc 1317 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)))
19 simpr1 1059 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝑆)
207, 4, 193jca 1234 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
21 inss1 3794 . . . . 5 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑋
22 pmod.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
238, 22, 9pmod1i 33955 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → ((𝑋𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋))))
2421, 23mpi 20 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋)))
2520, 24syldan 485 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋)))
2614, 18, 253eqtr4a 2669 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
271, 12, 263eqtr4a 2669 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cin 3538  wss 3539  cfv 5790  (class class class)co 6527  Latclat 16814  Atomscatm 33371  HLchlt 33458  PSubSpcpsubsp 33603  +𝑃cpadd 33902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-covers 33374  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-psubsp 33610  df-padd 33903
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator