Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem2 35451
Description: Lemma for pmod1i 35452. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l = (le‘𝐾)
pmodlem.j = (join‘𝐾)
pmodlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodlem2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))

Proof of Theorem pmodlem2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
21oveq1d 6705 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
3 simpl1 1084 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl22 1160 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌𝐴)
5 pmodlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 pmodlem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
75, 6padd02 35416 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
83, 4, 7syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
92, 8eqtrd 2685 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
109ineq1d 3846 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑌𝑍))
11 ssinss1 3874 . . . . 5 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
124, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
13 simpl21 1159 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝐴)
145, 6sspadd2 35420 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
153, 12, 13, 14syl3anc 1366 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
1610, 15eqsstrd 3672 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
17 oveq2 6698 . . . . 5 (𝑌 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + ∅))
18 simp1 1081 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp21 1114 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝐴)
205, 6padd01 35415 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2118, 19, 20syl2anc 694 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2217, 21sylan9eqr 2707 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
2322ineq1d 3846 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋𝑍))
24 inss1 3866 . . . 4 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑋
25 simpl1 1084 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
26 simpl21 1159 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋𝐴)
27 simpl22 1160 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌𝐴)
2827, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
295, 6sspadd1 35419 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3124, 30syl5ss 3647 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3223, 31eqsstrd 3672 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
33 elin 3829 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
34 simpl1 1084 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
35 hllat 34968 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
37 simpl21 1159 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑋𝐴)
38 simpl22 1160 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑌𝐴)
39 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
40 pmodlem.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
41 pmodlem.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
4240, 41, 5, 6elpaddn0 35404 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
4336, 37, 38, 39, 42syl31anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
44 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
45 simpl21 1159 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝐴)
46 simpl22 1160 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑌𝐴)
47 simpl23 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑍𝑆)
48 simpl3 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝑍)
49 simpr1 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝𝑍)
50 simpr2l 1140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑞𝑋)
51 simpr2r 1141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑟𝑌)
52 simpr3 1089 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 (𝑞 𝑟))
53 pmodlem.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5440, 41, 5, 53, 6pmodlem1 35450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
5544, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 54syl333anc 1398 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
56553exp2 1307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑝𝑍 → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
5756imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))))
5857rexlimdvv 3066 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
5958adantld 482 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6059adantrl 752 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6143, 60sylbid 230 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6261exp32 630 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝𝑍 → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6362com34 91 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑝𝑍𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6463imp4b 612 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6533, 64syl5bi 232 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6665ssrdv 3642 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6716, 32, 66pm2.61da2ne 2911 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cin 3606  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  lecple 15995  joincjn 16991  Latclat 17092  Atomscatm 34868  HLchlt 34955  PSubSpcpsubsp 35100  +𝑃cpadd 35399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-preset 16975  df-poset 16993  df-plt 17005  df-lub 17021  df-glb 17022  df-join 17023  df-meet 17024  df-p0 17086  df-lat 17093  df-covers 34871  df-ats 34872  df-atl 34903  df-cvlat 34927  df-hlat 34956  df-psubsp 35107  df-padd 35400
This theorem is referenced by:  pmod1i  35452
  Copyright terms: Public domain W3C validator