Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodlem2 33934
Description: Lemma for pmod1i 33935. (Contributed by NM, 9-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmodlem.l = (le‘𝐾)
pmodlem.j = (join‘𝐾)
pmodlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmodlem.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmodlem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodlem2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))

Proof of Theorem pmodlem2
Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 475 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋 = ∅)
21oveq1d 6541 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = (∅ + 𝑌))
3 simpl1 1056 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
4 simpl22 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑌𝐴)
5 pmodlem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 pmodlem.p . . . . . . 7 + = (+𝑃𝐾)
75, 6padd02 33899 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐴) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
83, 4, 7syl2anc 690 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (∅ + 𝑌) = 𝑌)
92, 8eqtrd 2643 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑌)
109ineq1d 3774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑌𝑍))
11 ssinss1 3802 . . . . 5 (𝑌𝐴 → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
124, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
13 simpl21 1131 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → 𝑋𝐴)
145, 6sspadd2 33903 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴𝑋𝐴) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
153, 12, 13, 14syl3anc 1317 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
1610, 15eqsstrd 3601 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑋 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
17 oveq2 6534 . . . . 5 (𝑌 = ∅ → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 + ∅))
18 simp1 1053 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
19 simp21 1086 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → 𝑋𝐴)
205, 6padd01 33898 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2118, 19, 20syl2anc 690 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑋 + ∅) = 𝑋)
2217, 21sylan9eqr 2665 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 + 𝑌) = 𝑋)
2322ineq1d 3774 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) = (𝑋𝑍))
24 inss1 3794 . . . 4 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑋
25 simpl1 1056 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝐾 ∈ HL)
26 simpl21 1131 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋𝐴)
27 simpl22 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌𝐴)
2827, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴)
295, 6sspadd1 33902 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴 ∧ (𝑌𝑍) ⊆ 𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3025, 26, 28, 29syl3anc 1317 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑋 ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3124, 30syl5ss 3578 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
3223, 31eqsstrd 3601 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
33 elin 3757 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍))
34 simpl1 1056 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
35 hllat 33451 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
37 simpl21 1131 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑋𝐴)
38 simpl22 1132 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → 𝑌𝐴)
39 simprl 789 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅))
40 pmodlem.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
41 pmodlem.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
4240, 41, 5, 6elpaddn0 33887 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
4336, 37, 38, 39, 42syl31anc 1320 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ↔ (𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟))))
44 simpl1 1056 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝐾 ∈ HL)
45 simpl21 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝐴)
46 simpl22 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑌𝐴)
47 simpl23 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑍𝑆)
48 simpl3 1058 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑋𝑍)
49 simpr1 1059 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝𝑍)
50 simpr2l 1112 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑞𝑋)
51 simpr2r 1113 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑟𝑌)
52 simpr3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 (𝑞 𝑟))
53 pmodlem.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
5440, 41, 5, 53, 6pmodlem1 33933 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑍𝑆𝑋𝑍𝑝𝑍) ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
5544, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 54syl333anc 1349 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑝𝑍 ∧ (𝑞𝑋𝑟𝑌) ∧ 𝑝 (𝑞 𝑟))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
56553exp2 1276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → (𝑝𝑍 → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
5756imp 443 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑞𝑋𝑟𝑌) → (𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍)))))
5857rexlimdvv 3018 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → (∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
5958adantld 481 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ 𝑝𝑍) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6059adantrl 747 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → ((𝑝𝐴 ∧ ∃𝑞𝑋𝑟𝑌 𝑝 (𝑞 𝑟)) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6143, 60sylbid 228 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) ∧ 𝑝𝑍)) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6261exp32 628 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝𝑍 → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6362com34 88 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅) → (𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) → (𝑝𝑍𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))))
6463imp4b 610 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑝 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑝𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6533, 64syl5bi 230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → (𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) → 𝑝 ∈ (𝑋 + (𝑌𝑍))))
6665ssrdv 3573 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) ∧ (𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝑌 ≠ ∅)) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
6716, 32, 66pm2.61da2ne 2869 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝑆) ∧ 𝑋𝑍) → ((𝑋 + 𝑌) ∩ 𝑍) ⊆ (𝑋 + (𝑌𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896  cin 3538  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  lecple 15723  joincjn 16715  Latclat 16816  Atomscatm 33351  HLchlt 33438  PSubSpcpsubsp 33583  +𝑃cpadd 33882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-lat 16817  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-psubsp 33590  df-padd 33883
This theorem is referenced by:  pmod1i  33935
  Copyright terms: Public domain W3C validator