Theorem pmtrdifwrdel 18616

Description: A sequence of transpositions of elements of a set without a special element corresponds to a sequence of transpositions of elements of the set. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrdifel.t	⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r	⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
pmtrdifwrdel	⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑢,𝐾   𝑖,𝑁,𝑢   𝑇,𝑖   𝑅,𝑖,𝑢   𝑤,𝑖,𝑥,𝑢

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑤)   𝑇(𝑤,𝑢)   𝐾(𝑥,𝑤,𝑖)   𝑁(𝑤)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel

Dummy variables 𝑗 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrdifel.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
2		pmtrdifel.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
3		fveq2 6673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑤‘𝑗) = (𝑤‘𝑛))
4	3	difeq1d 4101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
5	4	dmeqd 5777	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ) = dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I ))
6	5	fveq2d 6677	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
7	6	cbvmptv 5172	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) = (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑛) ∖ I )))
8	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem1 18612	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅)
9	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem2 18613	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
10	1, 2, 7	pmtrdifwrdellem3 18614	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
11		fveq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (♯‘𝑢) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))))
12	11	eqeq2d 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ↔ (♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))))))
13		fveq1 6672	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (𝑢‘𝑖) = ((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖))
14	13	fveq1d 6675	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))
15	14	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
16	15	2ralbidv 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥)))
17	12, 16	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝑢 = (𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) → (((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)) ↔ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))))
18	17	rspcev 3626	. . 3 ⊢ (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I ))) ∈ Word 𝑅 ∧ ((♯‘𝑤) = (♯‘(𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = (((𝑗 ∈ (0..^(♯‘𝑤)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑤‘𝑗) ∖ I )))‘𝑖)‘𝑥))) → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
19	8, 9, 10, 18	syl12anc 834	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑇 → ∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥)))
20	19	rgen 3151	1 ⊢ ∀𝑤 ∈ Word 𝑇∃𝑢 ∈ Word 𝑅((♯‘𝑤) = (♯‘𝑢) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑤))∀𝑥 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑤‘𝑖)‘𝑥) = ((𝑢‘𝑖)‘𝑥))

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  ∃wrex 3142   ∖ cdif 3936  {csn 4570   ↦ cmpt 5149   I cid 5462  dom cdm 5558  ran crn 5559  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  0cc0 10540  ..^cfzo 13036  ♯chash 13693  Word cword 13864  pmTrspcpmtr 18572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-card 9371  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-pmtr 18573

This theorem is referenced by: (None)