Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdel2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifwrdel2lem1 17950
 Description: Lemma 1 for pmtrdifwrdel2 17952. (Contributed by AV, 31-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdel2lem1 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑈𝑖)‘𝐾) = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖   𝑖,𝑊,𝑥   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖)   𝑈(𝑥,𝑖)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem pmtrdifwrdel2lem1
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
2 fvex 6239 . . . . 5 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) ∈ V
3 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑖))
43difeq1d 3760 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊𝑥) ∖ I ) = ((𝑊𝑖) ∖ I ))
54dmeqd 5358 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
65fveq2d 6233 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . 6 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
86, 7fvmptg 6319 . . . . 5 ((𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ∧ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) ∈ V) → (𝑈𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
91, 2, 8sylancl 695 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑈𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
109fveq1d 6231 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑈𝑖)‘𝐾) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝐾))
11 wrdsymbcl 13350 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑖) ∈ 𝑇)
1211adantlr 751 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑖) ∈ 𝑇)
13 simplr 807 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐾𝑁)
14 pmtrdifel.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
15 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
16 eqid 2651 . . . . 5 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
1714, 15, 16pmtrdifellem4 17945 . . . 4 (((𝑊𝑖) ∈ 𝑇𝐾𝑁) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
1812, 13, 17syl2anc 694 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝐾) = 𝐾)
1910, 18eqtrd 2685 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑈𝑖)‘𝐾) = 𝐾)
2019ralrimiva 2995 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐾𝑁) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑈𝑖)‘𝐾) = 𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604  {csn 4210   ↦ cmpt 4762   I cid 5052  dom cdm 5143  ran crn 5144  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323  pmTrspcpmtr 17907 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-symg 17844  df-pmtr 17908 This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel2  17952
 Copyright terms: Public domain W3C validator