Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrdifwrdellem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrdifwrdellem3 17824
 Description: Lemma 3 for pmtrdifwrdel 17826. (Contributed by AV, 15-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrdifel.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
pmtrdifel.r 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
pmtrdifwrdel.0 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
Assertion
Ref Expression
pmtrdifwrdellem3 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑇   𝑥,𝑅   𝑥,𝑊   𝑇,𝑖,𝑛   𝑖,𝑊,𝑛   𝑥,𝑖
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑖,𝑛)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑛)   𝐾(𝑥,𝑖,𝑛)   𝑁(𝑖,𝑛)

Proof of Theorem pmtrdifwrdellem3
StepHypRef Expression
1 wrdsymbcl 13257 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑖) ∈ 𝑇)
2 pmtrdifel.t . . . . 5 𝑇 = ran (pmTrsp‘(𝑁 ∖ {𝐾}))
3 pmtrdifel.r . . . . 5 𝑅 = ran (pmTrsp‘𝑁)
4 eqid 2621 . . . . 5 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
52, 3, 4pmtrdifellem3 17819 . . . 4 ((𝑊𝑖) ∈ 𝑇 → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
61, 5syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
7 pmtrdifwrdel.0 . . . . . . . 8 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )))
87a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑈 = (𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↦ ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I ))))
9 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑖 → (𝑊𝑥) = (𝑊𝑖))
109difeq1d 3705 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑖 → ((𝑊𝑥) ∖ I ) = ((𝑊𝑖) ∖ I ))
1110dmeqd 5286 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑖 → dom ((𝑊𝑥) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))
1211fveq2d 6152 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑖 → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
1312adantl 482 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) ∧ 𝑥 = 𝑖) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑥) ∖ I )) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
14 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
15 fvex 6158 . . . . . . . 8 ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )) ∈ V)
178, 13, 14, 16fvmptd 6245 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑈𝑖) = ((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I )))
1817fveq1d 6150 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑈𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛))
1918eqeq2d 2631 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
2019ralbidv 2980 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛) ↔ ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = (((pmTrsp‘𝑁)‘dom ((𝑊𝑖) ∖ I ))‘𝑛)))
216, 20mpbird 247 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
2221ralrimiva 2960 1 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))∀𝑛 ∈ (𝑁 ∖ {𝐾})((𝑊𝑖)‘𝑛) = ((𝑈𝑖)‘𝑛))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∀wral 2907  Vcvv 3186   ∖ cdif 3552  {csn 4148   ↦ cmpt 4673   I cid 4984  dom cdm 5074  ran crn 5075  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230  pmTrspcpmtr 17782 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-pmtr 17783 This theorem is referenced by:  pmtrdifwrdel  17826  pmtrdifwrdel2  17827
 Copyright terms: Public domain W3C validator