Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrf 17807
 Description: Functionality of a transposition. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrf ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)

Proof of Theorem pmtrf
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll2 1099 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃𝐷)
2 1onn 7671 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ ω
32a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 1𝑜 ∈ ω)
4 simpll3 1100 . . . . . . . 8 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ 2𝑜)
5 df-2o 7513 . . . . . . . 8 2𝑜 = suc 1𝑜
64, 5syl6breq 4659 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑃 ≈ suc 1𝑜)
7 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → 𝑧𝑃)
8 dif1en 8145 . . . . . . 7 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1𝑜𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1𝑜)
93, 6, 7, 8syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1𝑜)
10 en1uniel 7980 . . . . . 6 ((𝑃 ∖ {𝑧}) ≈ 1𝑜 (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}))
11 eldifi 3715 . . . . . 6 ( (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑧}) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
129, 10, 113syl 18 . . . . 5 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝑃)
131, 12sseldd 3588 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ 𝑧𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑧}) ∈ 𝐷)
14 simplr 791 . . . 4 ((((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) ∧ ¬ 𝑧𝑃) → 𝑧𝐷)
1513, 14ifclda 4097 . . 3 (((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) ∧ 𝑧𝐷) → if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧) ∈ 𝐷)
16 eqid 2621 . . 3 (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧))
1715, 16fmptd 6346 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)):𝐷𝐷)
18 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
1918pmtrval 17803 . . 3 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑇𝑃) = (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)))
2019feq1d 5992 . 2 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → ((𝑇𝑃):𝐷𝐷 ↔ (𝑧𝐷 ↦ if(𝑧𝑃, (𝑃 ∖ {𝑧}), 𝑧)):𝐷𝐷))
2117, 20mpbird 247 1 ((𝐷𝑉𝑃𝐷𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑇𝑃):𝐷𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ∖ cdif 3556   ⊆ wss 3559  ifcif 4063  {csn 4153  ∪ cuni 4407   class class class wbr 4618   ↦ cmpt 4678  suc csuc 5689  ⟶wf 5848  ‘cfv 5852  ωcom 7019  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506   ≈ cen 7904  pmTrspcpmtr 17793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-2o 7513  df-er 7694  df-en 7908  df-fin 7911  df-pmtr 17794 This theorem is referenced by:  pmtrmvd  17808  pmtrfinv  17813  pmtrff1o  17815  pmtrfcnv  17816  pmtr3ncomlem1  17825  mdetralt  20346  mdetunilem7  20356
 Copyright terms: Public domain W3C validator