MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfb 17879
Description: An intrinsic characterization of the transposition permutations. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfb (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))

Proof of Theorem pmtrfb
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2621 . . . . 5 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 17872 . . . 4 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5 simpl1 1063 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐷 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
71, 2pmtrff1o 17877 . . 3 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
8 simpl3 1065 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
94, 8syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
106, 7, 93jca 1241 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
11 simp2 1061 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
12 difss 3735 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
13 dmss 5321 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
15 f1odm 6139 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
1614, 15syl5sseq 3651 . . . . . 6 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
171, 2pmtrrn 17871 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
1816, 17syl3an2 1359 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
191, 2pmtrff1o 17877 . . . . 5 ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
21 simp3 1062 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
221pmtrmvd 17870 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
2316, 22syl3an2 1359 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
24 f1otrspeq 17861 . . . 4 (((𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 ∧ dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2511, 20, 21, 23, 24syl22anc 1326 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2625, 18eqeltrd 2700 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → 𝐹𝑅)
2710, 26impbii 199 1 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  Vcvv 3198  cdif 3569  wss 3572   class class class wbr 4651   I cid 5021  dom cdm 5112  ran crn 5113  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886  2𝑜c2o 7551  cen 7949  pmTrspcpmtr 17855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-om 7063  df-1o 7557  df-2o 7558  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-pmtr 17856
This theorem is referenced by:  pmtrfconj  17880  symggen  17884  pmtrdifellem1  17890  pmtrdifellem2  17891  psgnunilem1  17907
  Copyright terms: Public domain W3C validator