MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfmvdn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfmvdn0 17798
Description: A transposition moves at least one point. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfmvdn0 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)

Proof of Theorem pmtrfmvdn0
StepHypRef Expression
1 2on0 7515 . 2 2𝑜 ≠ ∅
2 pmtrrn.t . . . . . . . 8 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
3 pmtrrn.r . . . . . . . 8 𝑅 = ran 𝑇
4 eqid 2626 . . . . . . . 8 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
52, 3, 4pmtrfrn 17794 . . . . . . 7 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
65simpld 475 . . . . . 6 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
76simp3d 1073 . . . . 5 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜)
8 enen1 8045 . . . . 5 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
97, 8syl 17 . . . 4 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ 2𝑜 ≈ ∅))
10 en0 7964 . . . 4 (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ ∅ ↔ dom (𝐹 ∖ I ) = ∅)
11 en0 7964 . . . 4 (2𝑜 ≈ ∅ ↔ 2𝑜 = ∅)
129, 10, 113bitr3g 302 . . 3 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) = ∅ ↔ 2𝑜 = ∅))
1312necon3bid 2840 . 2 (𝐹𝑅 → (dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅ ↔ 2𝑜 ≠ ∅))
141, 13mpbiri 248 1 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  Vcvv 3191  cdif 3557  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618   I cid 4989  dom cdm 5079  ran crn 5080  cfv 5850  2𝑜c2o 7500  cen 7897  pmTrspcpmtr 17777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-om 7014  df-1o 7506  df-2o 7507  df-er 7688  df-en 7901  df-fin 7904  df-pmtr 17778
This theorem is referenced by:  psgnunilem3  17832
  Copyright terms: Public domain W3C validator