MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrprfv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrprfv 17794
Description: In a transposition of two given points, each maps to the other. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pmtrfval.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
pmtrprfv ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)

Proof of Theorem pmtrprfv
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝐷𝑉)
2 simpr1 1065 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝐷)
3 simpr2 1066 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝐷)
4 prssi 4321 . . . 4 ((𝑋𝐷𝑌𝐷) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
52, 3, 4syl2anc 692 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷)
6 pr2nelem 8771 . . . 4 ((𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
76adantl 482 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜)
8 pmtrfval.t . . . 4 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
98pmtrfv 17793 . . 3 (((𝐷𝑉 ∧ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝐷 ∧ {𝑋, 𝑌} ≈ 2𝑜) ∧ 𝑋𝐷) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
101, 5, 7, 2, 9syl31anc 1326 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋))
11 prid1g 4265 . . . . 5 (𝑋𝐷𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
122, 11syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌})
1312iftrued 4066 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
14 difprsnss 4298 . . . . . . 7 ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌}
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ⊆ {𝑌})
16 prid2g 4266 . . . . . . . . 9 (𝑌𝐷𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
173, 16syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌})
18 simpr3 1067 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑋𝑌)
1918necomd 2845 . . . . . . . 8 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌𝑋)
20 eldifsn 4287 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) ↔ (𝑌 ∈ {𝑋, 𝑌} ∧ 𝑌𝑋))
2117, 19, 20sylanbrc 697 . . . . . . 7 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → 𝑌 ∈ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2221snssd 4309 . . . . . 6 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} ⊆ ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}))
2315, 22eqssd 3600 . . . . 5 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
2423unieqd 4412 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = {𝑌})
25 unisng 4418 . . . . 5 (𝑌𝐷 {𝑌} = 𝑌)
263, 25syl 17 . . . 4 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → {𝑌} = 𝑌)
2724, 26eqtrd 2655 . . 3 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}) = 𝑌)
2813, 27eqtrd 2655 . 2 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → if(𝑋 ∈ {𝑋, 𝑌}, ({𝑋, 𝑌} ∖ {𝑋}), 𝑋) = 𝑌)
2910, 28eqtrd 2655 1 ((𝐷𝑉 ∧ (𝑋𝐷𝑌𝐷𝑋𝑌)) → ((𝑇‘{𝑋, 𝑌})‘𝑋) = 𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cdif 3552  wss 3555  ifcif 4058  {csn 4148  {cpr 4150   cuni 4402   class class class wbr 4613  cfv 5847  2𝑜c2o 7499  cen 7896  pmTrspcpmtr 17782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-om 7013  df-1o 7505  df-2o 7506  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pmtr 17783
This theorem is referenced by:  symggen  17811  pmtr3ncomlem1  17814  mdetralt  20333  mdetunilem7  20343  pmtrprfv2  29633  psgnfzto1stlem  29635
  Copyright terms: Public domain W3C validator