MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan1 10439
Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
pncan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 10041 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2pncand 10378 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  (class class class)co 6635  cc 9919  1c1 9922   + caddc 9924  cmin 10251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253
This theorem is referenced by:  nn0split  12438  nn0disj  12439  elfzom1elp1fzo1  12552  sqoddm1div8  13011  wrdlenccats1lenm1  13382  ccatws1lenrev  13390  ccats1swrdeq  13451  ltoddhalfle  15066  pwp1fsum  15095  flodddiv4  15118  prmop1  15723  cayhamlem1  20652  2lgslem1c  25099  2lgslem3a  25102  2lgslem3c  25104  2lgslem3d  25105  wlklenvm1  26498  wwlknp  26715  0enwwlksnge1  26730  wlkiswwlks1  26734  wspthsnwspthsnon  26792  wspthsnonn0vne  26794  elwspths2spth  26843  wwlksext2clwwlk  26904  clwwlkextfrlem1  27183  numclwlk2lem2f  27207  poimirlem4  33384  poimirlem10  33390  poimirlem19  33399  poimirlem28  33408  sumnnodd  39662  iccpartgtprec  41120  ccats1pfxeq  41186  fmtnom1nn  41209  fmtnorec1  41214  sfprmdvdsmersenne  41285  proththdlem  41295  41prothprmlem1  41299  dfodd6  41315  evenp1odd  41318  perfectALTVlem1  41395  altgsumbcALT  41896  fllog2  42127  nnpw2blen  42139  dig2nn1st  42164  nn0sumshdiglemA  42178  nn0sumshdiglemB  42179  aacllem  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator