MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan1 10301
Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
pncan1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 9908 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
31, 2pncand 10240 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  cc 9786  1c1 9789   + caddc 9791  cmin 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115
This theorem is referenced by:  nn0split  12274  nn0disj  12275  elfzom1elp1fzo1  12385  sqoddm1div8  12841  wrdlenccats1lenm1  13194  ccatws1lenrev  13202  ccats1swrdeq  13263  ltoddhalfle  14865  pwp1fsum  14894  flodddiv4  14917  prmop1  15522  cayhamlem1  20428  2lgslem1c  24831  2lgslem3a  24834  2lgslem3c  24836  2lgslem3d  24837  wwlkext2clwwlk  26093  clwwlkextfrlem1  26365  numclwlk2lem2f  26392  poimirlem4  32382  poimirlem10  32388  poimirlem19  32397  poimirlem28  32406  sumnnodd  38497  iccpartgtprec  39759  fmtnom1nn  39783  fmtnorec1  39788  sfprmdvdsmersenne  39859  proththdlem  39869  41prothprmlem1  39873  dfodd6  39889  evenp1odd  39892  perfectALTVlem1  39965  ccats1pfxeq  40085  1wlklenvm1  40824  wwlknp  41043  0enwwlksnge1  41058  1wlkiswwlks1  41062  wspthsnwspthsnon  41120  wspthsnonn0vne  41122  elwspths2spth  41169  wwlksext2clwwlk  41229  av-clwwlkextfrlem1  41507  av-numclwlk2lem2f  41531  altgsumbcALT  41922  fllog2  42158  nnpw2blen  42170  dig2nn1st  42195  nn0sumshdiglemA  42209  nn0sumshdiglemB  42210  aacllem  42315
  Copyright terms: Public domain W3C validator