Theorem pncan1 11058

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 10630	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 10992	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534   − cmin 10864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866

This theorem is referenced by:  nn0split  13016  nn0disj  13017  elfzom1elp1fzo1  13131  sqoddm1div8  13598  wrdlenccats1lenm1  13970  ccats1pfxeq  14070  ltoddhalfle  15704  pwp1fsum  15736  flodddiv4  15758  prmop1  16368  cayhamlem1  21468  2lgslem1c  25963  2lgslem3a  25966  wlklenvm1  27397  wwlknp  27615  wwlknlsw  27619  0enwwlksnge1  27636  wlkiswwlks1  27639  wspthsnwspthsnon  27689  wspthsnonn0vne  27690  elwspths2spth  27740  wwlksext2clwwlk  27830  numclwwlk2lem1lem  28115  numclwlk2lem2f  28150  poimirlem4  34890  poimirlem10  34896  poimirlem19  34905  poimirlem28  34914  sumnnodd  41903  iccpartgtprec  43573  fmtnom1nn  43687  fmtnorec1  43692  sfprmdvdsmersenne  43761  proththdlem  43771  41prothprmlem1  43775  dfodd6  43795  evenp1odd  43798  perfectALTVlem1  43879  altgsumbcALT  44394  fllog2  44621  nnpw2blen  44633  dig2nn1st  44658  nn0sumshdiglemA  44672  nn0sumshdiglemB  44673  aacllem  44895