MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2 10881
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2
StepHypRef Expression
1 addcom 10814 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
21oveq1d 7160 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴))
3 pncan 10880 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐵)
42, 3eqtr3d 2855 . 2 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
54ancoms 459 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523   + caddc 10528  cmin 10858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-ltxr 10668  df-sub 10860
This theorem is referenced by:  subid  10893  pnpcan  10913  pnncan  10915  pncan2d  10987  fzrev3  12961  fzrevral3  12982  fzosubel2  13085  facndiv  13636  bcnp1n  13662  lswccatn0lsw  13933  swrds1  14016  swrdccat2  14019  swrdccat3b  14090  revccat  14116  trireciplem  15205  psgnunilem2  18552  efgredleme  18798  pjthlem1  23967  uniioombllem3  24113  dyadovol  24121  dvfsumle  24545  qaa  24839  geolim3  24855  pserdv2  24945  logtayl  25170  tanatan  25424  atans2  25436  efrlim  25474  ppidif  25667  ppiub  25707  bposlem9  25795  pntrsumo1  26068  pntpbnd1a  26088  pntpbnd2  26090  pntlemr  26105  axsegconlem10  26639  crctcshwlkn0lem6  27520  pjhthlem1  29095  hst1h  29931  ballotlem2  31645  ballotlemfmpn  31651  lzenom  39245  acongrep  39455  fouriersw  42393
  Copyright terms: Public domain W3C validator