MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2 10135
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2
StepHypRef Expression
1 addcom 10069 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
21oveq1d 6538 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴))
3 pncan 10134 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐵)
42, 3eqtr3d 2641 . 2 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
54ancoms 467 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  (class class class)co 6523  cc 9786   + caddc 9791  cmin 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-ltxr 9931  df-sub 10115
This theorem is referenced by:  subid  10147  pnpcan  10167  pnncan  10169  pncan2d  10241  fzrev3  12227  fzrevral3  12247  fzosubel2  12346  facndiv  12888  bcnp1n  12914  lswccatn0lsw  13168  swrds1  13245  swrdccat3b  13289  revccat  13308  trireciplem  14375  psgnunilem2  17680  efgredleme  17921  pjthlem1  22929  uniioombllem3  23072  dyadovol  23080  dvfsumle  23501  qaa  23795  geolim3  23811  pserdv2  23901  tangtx  23974  logtayl  24119  tanatan  24359  atans2  24371  efrlim  24409  ppidif  24602  ppiub  24642  bposlem9  24730  pntrsumo1  24967  pntpbnd1a  24987  pntpbnd2  24989  pntlemr  25004  axsegconlem10  25520  wlkdvspthlem  25899  pjhthlem1  27436  hst1h  28272  ballotlem2  29679  ballotlemfmpn  29685  lzenom  36150  acongrep  36364  fouriersw  38924  crctcsh1wlkn0lem6  41016
  Copyright terms: Public domain W3C validator