MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan2 10285
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 17-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
pncan2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan2
StepHypRef Expression
1 addcom 10219 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + 𝐴) = (𝐴 + 𝐵))
21oveq1d 6662 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴))
3 pncan 10284 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐵 + 𝐴) − 𝐴) = 𝐵)
42, 3eqtr3d 2657 . 2 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
54ancoms 469 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  (class class class)co 6647  cc 9931   + caddc 9936  cmin 10263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-po 5033  df-so 5034  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-ltxr 10076  df-sub 10265
This theorem is referenced by:  subid  10297  pnpcan  10317  pnncan  10319  pncan2d  10391  fzrev3  12403  fzrevral3  12423  fzosubel2  12523  facndiv  13070  bcnp1n  13096  lswccatn0lsw  13368  swrds1  13445  swrdccat3b  13490  revccat  13509  trireciplem  14588  psgnunilem2  17909  efgredleme  18150  pjthlem1  23202  uniioombllem3  23347  dyadovol  23355  dvfsumle  23778  qaa  24072  geolim3  24088  pserdv2  24178  tangtx  24251  logtayl  24400  tanatan  24640  atans2  24652  efrlim  24690  ppidif  24883  ppiub  24923  bposlem9  25011  pntrsumo1  25248  pntpbnd1a  25268  pntpbnd2  25270  pntlemr  25285  axsegconlem10  25800  crctcshwlkn0lem6  26701  pjhthlem1  28234  hst1h  29070  ballotlem2  30535  ballotlemfmpn  30541  lzenom  37159  acongrep  37373  fouriersw  40217
  Copyright terms: Public domain W3C validator