MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3 10883
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 8-Jan-2023.)
Assertion
Ref Expression
pncan3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3
StepHypRef Expression
1 subcl 10874 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
2 eqid 2821 . . . 4 (𝐵𝐴) = (𝐵𝐴)
3 subadd 10878 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → ((𝐵𝐴) = (𝐵𝐴) ↔ (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵))
42, 3mpbii 234 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
51, 4mpd3an3 1453 . 2 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
65ancoms 459 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10524   + caddc 10529  cmin 10859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861
This theorem is referenced by:  npcan  10884  nncan  10904  npncan3  10913  negid  10922  pncan3i  10952  pncan3d  10989  subdi  11062  posdif  11122  fzonmapblen  13073  fzen2  13327  bernneq2  13581  hashdom  13730  hashfz  13778  hashreshashfun  13790  swrdfv2  14013  addlenpfx  14043  ccatpfx  14053  2cshwid  14166  cshweqdif2  14171  2cshwcshw  14177  cshwcshid  14179  isercoll2  15015  isumshft  15184  dvdssubr  15645  vdwlem3  16309  vdwlem9  16315  prmgaplem7  16383  mplsubrglem  20149  blcvx  23335  dvef  24506  dvcvx  24546  sincosq2sgn  25014  sincosq3sgn  25015  sincosq4sgn  25016  eflogeq  25112  logdivlti  25130  advlogexp  25165  cvxcl  25490  scvxcvx  25491  cvxsconn  32388  resconn  32391  cos2h  34765  ftc1anclem5  34853  jm2.26a  39477  jm2.27c  39484  goldbachthlem1  43554  nn0sumshdiglemB  44578
  Copyright terms: Public domain W3C validator