MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3d 10340
Description: Subtraction and addition of equals. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pncan3d (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)

Proof of Theorem pncan3d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 pncan3 10234 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  (class class class)co 6605  cc 9879   + caddc 9884  cmin 10211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-ltxr 10024  df-sub 10213
This theorem is referenced by:  xralrple  11978  quoremz  12591  quoremnn0ALT  12593  intfrac2  12594  intfrac  12622  2cshwcshw  13503  isercoll2  14328  iseralt  14344  mertenslem1  14536  fprodser  14599  risefacfac  14686  fallfacfwd  14687  eflt  14767  efival  14802  bitsmod  15077  bitsinv1lem  15082  odzdvds  15419  modprm0  15429  pcaddlem  15511  vdwapun  15597  vdwlem12  15615  odmodnn0  17875  mndodconglem  17876  minveclem4  23106  ivthlem2  23123  dvn2bss  23594  ftc2  23706  mdegmullem  23737  plymullem1  23869  dvtaylp  24023  dvntaylp  24024  dvntaylp0  24025  taylthlem1  24026  ulmbdd  24051  affineequiv  24448  mcubic  24469  quart1lem  24477  quart1  24478  asinsin  24514  birthdaylem2  24574  emcllem6  24622  perfectlem2  24850  lgseisenlem4  24998  lgsquadlem1  25000  dchrisumlem1  25073  dchrvmasum2if  25081  dchrisum0lem1  25100  selberg3  25143  axsegconlem10  25701  smcnlem  27392  oddpwdc  30189  itg2addnclem3  33081  ftc2nc  33112  fzisoeu  38965  lptre2pt  39263  0ellimcdiv  39272  climleltrp  39299  ioodvbdlimc1lem2  39440  dvnprodlem1  39454  itgsinexp  39464  itgsbtaddcnst  39492  dirkertrigeqlem2  39610  fourierdlem4  39622  fourierdlem13  39631  fourierdlem26  39644  fourierdlem41  39659  fourierdlem42  39660  fourierdlem50  39667  fourierdlem60  39677  fourierdlem61  39678  fourierdlem74  39691  fourierdlem75  39692  fourierdlem76  39693  fourierdlem84  39701  fourierdlem89  39706  fourierdlem90  39707  fourierdlem91  39708  fourierdlem93  39710  fourierdlem101  39718  fourierdlem107  39724  fourierdlem111  39728  fourierdlem112  39729  fouriersw  39742  smfaddlem1  40265  sigarcol  40344  ccatpfx  40696  perfectALTVlem2  40914  nnpw2pmod  41643
  Copyright terms: Public domain W3C validator