Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pncan3oi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pncan3oi 10509
 Description: Subtraction and addition of equals. Almost but not exactly the same as pncan3i 10570 and pncan 10499, this order happens often when applying "operations to both sides" so create a theorem specifically for it. A deduction version of this is available as pncand 10605. (Contributed by David A. Wheeler, 11-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
pncan3oi.1 𝐴 ∈ ℂ
pncan3oi.2 𝐵 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
pncan3oi ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴

Proof of Theorem pncan3oi
StepHypRef Expression
1 pncan3oi.1 . 2 𝐴 ∈ ℂ
2 pncan3oi.2 . 2 𝐵 ∈ ℂ
3 pncan 10499 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
41, 2, 3mp2an 710 1 ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  (class class class)co 6814  ℂcc 10146   + caddc 10151   − cmin 10478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480 This theorem is referenced by:  mvrraddi  10510  mvlladdi  10511  climcndslem1  14800  3dvds  15274  3dvdsOLD  15275  1259prm  16065  2503prm  16069  ovolicc2lem4  23508  eff1o  24515  log2tlbnd  24892  birthday  24901  basellem8  25034  ppiublem2  25148  ppiub  25149  chtub  25157  bposlem6  25234  bposlem8  25236  ex-ind-dvds  27650  lnfn0i  29231  lmatfvlem  30211  quad3  31892  poimirlem16  33756  poimirlem17  33757  poimirlem19  33759  poimirlem20  33760  fdc  33872  heiborlem6  33946  areaquad  38322  inductionexd  38973  stoweidlem34  40772  fouriersw  40969  mvlraddi  43045  mvrladdi  43047
 Copyright terms: Public domain W3C validator