Theorem pnfge 12519

Description: Plus infinity is an upper bound for extended reals. (Contributed by NM, 30-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
pnfge	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Proof of Theorem pnfge

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfnlt 12517	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → ¬ +∞ < 𝐴)
2		pnfxr 10689	. . 3 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
3		xrlenlt 10700	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
4	2, 3	mpan2 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ≤ +∞ ↔ ¬ +∞ < 𝐴))
5	1, 4	mpbird 259	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → 𝐴 ≤ +∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  +∞cpnf 10666  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-xp 5555  df-cnv 5557  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675

This theorem is referenced by:  xnn0n0n1ge2b  12520  0lepnf  12521  nltpnft  12551  xrre2  12557  xnn0lem1lt  12631  xleadd1a  12640  xlt2add  12647  xsubge0  12648  xlesubadd  12650  xlemul1a  12675  elicore  12783  elico2  12794  iccmax  12806  elxrge0  12839  nfile  13714  hashdom  13734  hashdomi  13735  hashge1  13744  hashss  13764  hashge2el2difr  13833  pcdvdsb  16199  pc2dvds  16209  pcaddlem  16218  xrsdsreclblem  20585  leordtvallem1  21812  lecldbas  21821  isxmet2d  22931  blssec  23039  nmoix  23332  nmoleub  23334  xrtgioo  23408  xrge0tsms  23436  metdstri  23453  nmoleub2lem  23712  ovolf  24077  ovollb2  24084  ovoliun  24100  ovolre  24120  voliunlem3  24147  volsup  24151  icombl  24159  ioombl  24160  ismbfd  24234  itg2seq  24337  dvfsumrlim  24622  dvfsumrlim2  24623  radcnvcl  24999  xrlimcnp  25540  logfacbnd3  25793  log2sumbnd  26114  tgldimor  26282  xrdifh  30497  xrge0tsmsd  30687  unitssxrge0  31138  tpr2rico  31150  lmxrge0  31190  esumle  31312  esumlef  31316  esumpinfval  31327  esumpinfsum  31331  esumcvgsum  31342  ddemeas  31490  sxbrsigalem2  31539  omssubadd  31553  carsgclctunlem3  31573  signsply0  31816  ismblfin  34927  xrgepnfd  41592  supxrgelem  41598  supxrge  41599  infrpge  41612  xrlexaddrp  41613  infleinflem1  41631  infleinf  41633  infxrpnf  41714  pnfged  41743  ge0xrre  41800  iblsplit  42244  ismbl3  42265  ovolsplit  42267  sge0cl  42657  sge0less  42668  sge0pr  42670  sge0le  42683  sge0split  42685  carageniuncl  42799  ovnsubaddlem1  42846  hspmbl  42905  pimiooltgt  42983  pgrpgt2nabl  44408