Theorem pnfnemnf 10698

Description: Plus and minus infinity are different elements of ℝ^*. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
pnfnemnf	⊢ +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pnfxr 10697	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
2		pwne 5253	. . . 4 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ 𝒫 +∞ ≠ +∞
4	3	necomi 3072	. 2 ⊢ +∞ ≠ 𝒫 +∞
5		df-mnf 10680	. 2 ⊢ -∞ = 𝒫 +∞
6	4, 5	neeqtrri 3091	1 ⊢ +∞ ≠ -∞

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  𝒫 cpw 4541  +∞cpnf 10674  -∞cmnf 10675  ℝ^*cxr 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-pow 5268  ax-un 7463  ax-cnex 10595

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-rab 3149  df-v 3498  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-uni 4841  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681

This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10699  xnn0nemnf  11981  xrnemnf  12515  xrltnr  12517  pnfnlt  12526  nltmnf  12527  xaddpnf1  12622  xaddnemnf  12632  xmullem2  12661  xadddilem  12690  hashnemnf  13707  xrge0iifhom  31182  esumpr2  31328