MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnemnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnemnf 10046
Description: Plus and minus infinity are different elements of *. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnemnf +∞ ≠ -∞

Proof of Theorem pnfnemnf
StepHypRef Expression
1 pnfxr 10044 . . . 4 +∞ ∈ ℝ*
2 pwne 4796 . . . 4 (+∞ ∈ ℝ* → 𝒫 +∞ ≠ +∞)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝒫 +∞ ≠ +∞
43necomi 2844 . 2 +∞ ≠ 𝒫 +∞
5 df-mnf 10029 . 2 -∞ = 𝒫 +∞
64, 5neeqtrri 2863 1 +∞ ≠ -∞
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1987  wne 2790  𝒫 cpw 4135  +∞cpnf 10023  -∞cmnf 10024  *cxr 10025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-pow 4808  ax-un 6909  ax-cnex 9944
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-uni 4408  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030
This theorem is referenced by:  mnfnepnf  10047  xnn0nemnf  11326  xrnemnf  11903  xrltnr  11905  pnfnlt  11914  nltmnf  11915  xaddpnf1  12008  xaddnemnf  12018  xmullem2  12046  xadddilem  12075  hashnemnf  13080  xrge0iifhom  29789  esumpr2  29934
  Copyright terms: Public domain W3C validator