MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnfnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnfnre 10670
Description: Plus infinity is not a real number. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
pnfnre +∞ ∉ ℝ

Proof of Theorem pnfnre
StepHypRef Expression
1 df-pnf 10665 . . . 4 +∞ = 𝒫
2 pwuninel 7930 . . . 4 ¬ 𝒫 ℂ ∈ ℂ
31, 2eqneltri 2903 . . 3 ¬ +∞ ∈ ℂ
4 recn 10615 . . 3 (+∞ ∈ ℝ → +∞ ∈ ℂ)
53, 4mto 198 . 2 ¬ +∞ ∈ ℝ
65nelir 3123 1 +∞ ∉ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  wnel 3120  𝒫 cpw 4535   cuni 4830  cc 10523  cr 10524  +∞cpnf 10660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-nel 3121  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-uni 4831  df-pnf 10665
This theorem is referenced by:  pnfnre2  10671  renepnf  10677  ltxrlt  10699  nn0nepnf  11963  xrltnr  12502  pnfnlt  12511  xnn0lenn0nn0  12626  hashclb  13707  hasheq0  13712  pcgcd1  16201  pc2dvds  16203  ramtcl2  16335  odhash3  18630  xrsdsreclblem  20519  pnfnei  21756  iccpnfcnv  23475  i1f0rn  24210
  Copyright terms: Public domain W3C validator