Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pnonsingN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnonsingN 36949
Description: The intersection of a set of atoms and its polarity is empty. Definition of nonsingular in [Holland95] p. 214. (Contributed by NM, 29-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2polat.p 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pnonsingN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)

Proof of Theorem pnonsingN
StepHypRef Expression
1 2polat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 2polat.p . . . . 5 𝑃 = (⊥𝑃𝐾)
31, 22polssN 36931 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ⊆ (𝑃‘(𝑃𝑋)))
43ssrind 4209 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)))
5 eqid 2818 . . . . . 6 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
6 eqid 2818 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
75, 1, 6, 22polvalN 36930 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃‘(𝑃𝑋)) = ((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))
8 eqid 2818 . . . . . 6 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
95, 8, 1, 6, 2polval2N 36922 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑃𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
107, 9ineq12d 4187 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
11 hlop 36378 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
13 hlclat 36374 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
14 eqid 2818 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1514, 1atssbase 36306 . . . . . . . . 9 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
16 sstr 3972 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1715, 16mpan2 687 . . . . . . . 8 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1814, 5clatlubcl 17710 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1913, 17, 18syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
20 eqid 2818 . . . . . . . 8 (meet‘𝐾) = (meet‘𝐾)
21 eqid 2818 . . . . . . . 8 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2214, 8, 20, 21opnoncon 36224 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
2312, 19, 22syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) = (0.‘𝐾))
2423fveq2d 6667 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
25 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2614, 8opoccl 36210 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2712, 19, 26syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
2814, 20, 1, 6pmapmeet 36789 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
2925, 19, 27, 28syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(((lub‘𝐾)‘𝑋)(meet‘𝐾)((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))))
30 hlatl 36376 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
3221, 6pmap0 36781 . . . . . 6 (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3331, 32syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3424, 29, 333eqtr3d 2861 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (((pmap‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∩ ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)))) = ∅)
3510, 34eqtrd 2853 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑃‘(𝑃𝑋)) ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
364, 35sseqtrd 4004 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ∅)
37 ss0b 4348 . 2 ((𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) ⊆ ∅ ↔ (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
3836, 37sylib 219 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ∩ (𝑃𝑋)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3932  wss 3933  c0 4288  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  occoc 16561  lubclub 17540  meetcmee 17543  0.cp0 17635  CLatccla 17705  OPcops 36188  Atomscatm 36279  AtLatcal 36280  HLchlt 36366  pmapcpmap 36513  𝑃cpolN 36918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-undef 7928  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-pmap 36520  df-polarityN 36919
This theorem is referenced by:  osumcllem4N  36975  pexmidN  36985  pexmidlem1N  36986
  Copyright terms: Public domain W3C validator