MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pnpcan2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pnpcan2d 10374
Description: Cancellation law for mixed addition and subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
subaddd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
pnpcan2d (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐵))

Proof of Theorem pnpcan2d
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 subaddd.3 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4 pnpcan2 10265 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐵))
51, 2, 3, 4syl3anc 1323 1 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐶) − (𝐵 + 𝐶)) = (𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878   + caddc 9883  cmin 10210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-ltxr 10023  df-sub 10212
This theorem is referenced by:  subaddeqd  10390  modvalp1  12629  modcyc  12645  addmodlteq  12685  crre  13788  amgm2  14043  addcn2  14258  iseralt  14349  telfsumo  14461  4sqlem10  15575  pcoass  22732  ipcau2  22941  ovolshftlem1  23184  ptolemy  24152  chordthmlem2  24460  chordthmlem4  24462  heron  24465  quart1lem  24482  sinasin  24516  asinsin  24519  2efiatan  24545  atantayl2  24565  basellem3  24709  basellem8  24714  lgslem1  24922  lgseisenlem1  25000  chpdifbndlem1  25142  pntpbnd2  25176  pntlemr  25191  subfacp1lem1  30866  binomcxplemrat  38028  limcperiod  39261  fperdvper  39436  wallispilem3  39588  fourierdlem65  39692  smfmullem1  40302  pwdif  40797
  Copyright terms: Public domain W3C validator