MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem1 26092
Description: Lemma for pntibnd 26096. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2 4nn 11708 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
3 nnrp 12388 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4 rpreccl 12403 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (1 / 4) ∈ ℝ+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 3rp 12383 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
8 rpaddcl 12399 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
96, 7, 8sylancl 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
10 rpdivcl 12402 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
115, 9, 10sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
121, 11eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1312rpred 12419 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1412rpgt0d 12422 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐿)
15 rpcn 12387 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
165, 15ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℂ
1716div1i 11356 . . . . 5 ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
18 rpre 12385 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
195, 18mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
20 3re 11705 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
229rpred 12419 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
23 1lt4 11801 . . . . . . . . 9 1 < 4
24 4re 11709 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
25 4pos 11732 . . . . . . . . . 10 0 < 4
26 recgt1 11524 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
2724, 25, 26mp2an 688 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
2823, 27mpbi 231 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
29 1lt3 11798 . . . . . . . 8 1 < 3
305, 18ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℝ
31 1re 10629 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3230, 31, 20lttri 10754 . . . . . . . 8 (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
3328, 29, 32mp2an 688 . . . . . . 7 (1 / 4) < 3
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < 3)
35 ltaddrp 12414 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
3620, 6, 35sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
37 3cn 11706 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
386rpcnd 12421 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
39 addcom 10814 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4037, 38, 39sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4136, 40breqtrd 5083 . . . . . 6 (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
4219, 21, 22, 34, 41lttrd 10789 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
4317, 42eqbrtrid 5092 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
4431a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
45 0lt1 11150 . . . . . 6 0 < 1
4645a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
479rpregt0d 12425 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
48 ltdiv23 11519 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
4919, 44, 46, 47, 48syl121anc 1367 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5043, 49mpbid 233 . . 3 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
511, 50eqbrtrid 5092 . 2 (𝜑𝐿 < 1)
52 0xr 10676 . . 3 0 ∈ ℝ*
53 1xr 10688 . . 3 1 ∈ ℝ*
54 elioo2 12767 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1)))
5552, 53, 54mp2an 688 . 2 (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1))
5613, 14, 51, 55syl3anbrc 1335 1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  *cxr 10662   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  3c3 11681  4c4 11682  +crp 12377  (,)cioo 12726  ψcchp 25597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-rp 12378  df-ioo 12730
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  26093  pntibndlem2  26094  pntibnd  26096
  Copyright terms: Public domain W3C validator