MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem1 24995
Description: Lemma for pntibnd 24999. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2 4nn 11034 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
3 nnrp 11674 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4 rpreccl 11689 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (1 / 4) ∈ ℝ+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 3nn 11033 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
8 nnrp 11674 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
10 rpaddcl 11686 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
116, 9, 10sylancl 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
12 rpdivcl 11688 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
135, 11, 12sylancr 693 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
141, 13syl5eqel 2691 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1514rpred 11704 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1614rpgt0d 11707 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐿)
17 rpcn 11673 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℂ
1918div1i 10602 . . . . 5 ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
20 rpre 11671 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
215, 20mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
22 3re 10941 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
2411rpred 11704 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
25 1lt4 11046 . . . . . . . . 9 1 < 4
26 4re 10944 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
27 4pos 10963 . . . . . . . . . 10 0 < 4
28 recgt1 10768 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
2926, 27, 28mp2an 703 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3025, 29mpbi 218 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
31 1lt3 11043 . . . . . . . 8 1 < 3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℝ
33 1re 9895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3432, 33, 22lttri 10014 . . . . . . . 8 (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
3530, 31, 34mp2an 703 . . . . . . 7 (1 / 4) < 3
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < 3)
37 ltaddrp 11699 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
3822, 6, 37sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
39 3cn 10942 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
406rpcnd 11706 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
41 addcom 10073 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4239, 40, 41sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4338, 42breqtrd 4603 . . . . . 6 (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 10049 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
4519, 44syl5eqbr 4612 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
4633a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47 0lt1 10399 . . . . . 6 0 < 1
4847a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
4911rpregt0d 11710 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
50 ltdiv23 10763 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1322 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5245, 51mpbid 220 . . 3 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
531, 52syl5eqbr 4612 . 2 (𝜑𝐿 < 1)
54 0xr 9942 . . 3 0 ∈ ℝ*
5533rexri 9948 . . 3 1 ∈ ℝ*
56 elioo2 12043 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1)))
5754, 55, 56mp2an 703 . 2 (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1))
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1238 1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  3c3 10918  4c4 10919  +crp 11664  (,)cioo 12002  ψcchp 24536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-rp 11665  df-ioo 12006
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  24996  pntibndlem2  24997  pntibnd  24999
  Copyright terms: Public domain W3C validator