MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem1 25323
Description: Lemma for pntibnd 25327. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))

Proof of Theorem pntibndlem1
StepHypRef Expression
1 pntibndlem1.l . . . 4 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
2 4nn 11225 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
3 nnrp 11880 . . . . . 6 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
4 rpreccl 11895 . . . . . 6 (4 ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ+)
52, 3, 4mp2b 10 . . . . 5 (1 / 4) ∈ ℝ+
6 pntibndlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 3nn 11224 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
8 nnrp 11880 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
97, 8ax-mp 5 . . . . . 6 3 ∈ ℝ+
10 rpaddcl 11892 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
116, 9, 10sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ+)
12 rpdivcl 11894 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ+ ∧ (𝐴 + 3) ∈ ℝ+) → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
135, 11, 12sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) ∈ ℝ+)
141, 13syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
1514rpred 11910 . 2 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
1614rpgt0d 11913 . 2 (𝜑 → 0 < 𝐿)
17 rpcn 11879 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℂ)
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6 (1 / 4) ∈ ℂ
1918div1i 10791 . . . . 5 ((1 / 4) / 1) = (1 / 4)
20 rpre 11877 . . . . . . 7 ((1 / 4) ∈ ℝ+ → (1 / 4) ∈ ℝ)
215, 20mp1i 13 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) ∈ ℝ)
22 3re 11132 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 3 ∈ ℝ)
2411rpred 11910 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 + 3) ∈ ℝ)
25 1lt4 11237 . . . . . . . . 9 1 < 4
26 4re 11135 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
27 4pos 11154 . . . . . . . . . 10 0 < 4
28 recgt1 10957 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
2926, 27, 28mp2an 708 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3025, 29mpbi 220 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
31 1lt3 11234 . . . . . . . 8 1 < 3
325, 20ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 4) ∈ ℝ
33 1re 10077 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3432, 33, 22lttri 10201 . . . . . . . 8 (((1 / 4) < 1 ∧ 1 < 3) → (1 / 4) < 3)
3530, 31, 34mp2an 708 . . . . . . 7 (1 / 4) < 3
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (1 / 4) < 3)
37 ltaddrp 11905 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 3 < (3 + 𝐴))
3822, 6, 37sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → 3 < (3 + 𝐴))
39 3cn 11133 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
406rpcnd 11912 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
41 addcom 10260 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4239, 40, 41sylancr 696 . . . . . . 7 (𝜑 → (3 + 𝐴) = (𝐴 + 3))
4338, 42breqtrd 4711 . . . . . 6 (𝜑 → 3 < (𝐴 + 3))
4421, 23, 24, 36, 43lttrd 10236 . . . . 5 (𝜑 → (1 / 4) < (𝐴 + 3))
4519, 44syl5eqbr 4720 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3))
4633a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
47 0lt1 10588 . . . . . 6 0 < 1
4847a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
4911rpregt0d 11916 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3)))
50 ltdiv23 10952 . . . . 5 (((1 / 4) ∈ ℝ ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝐴 + 3) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 + 3))) → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5121, 46, 48, 49, 50syl121anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 4) / 1) < (𝐴 + 3) ↔ ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1))
5245, 51mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ((1 / 4) / (𝐴 + 3)) < 1)
531, 52syl5eqbr 4720 . 2 (𝜑𝐿 < 1)
54 0xr 10124 . . 3 0 ∈ ℝ*
5533rexri 10135 . . 3 1 ∈ ℝ*
56 elioo2 12254 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1)))
5754, 55, 56mp2an 708 . 2 (𝐿 ∈ (0(,)1) ↔ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿𝐿 < 1))
5815, 16, 53, 57syl3anbrc 1265 1 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  *cxr 10111   < clt 10112  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  3c3 11109  4c4 11110  +crp 11870  (,)cioo 12213  ψcchp 24864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-rp 11871  df-ioo 12217
This theorem is referenced by:  pntibndlem2a  25324  pntibndlem2  25325  pntibnd  25327
  Copyright terms: Public domain W3C validator