MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem3 24998
Description: Lemma for pntibnd 24999. Package up pntibndlem2 24997 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10937 . . 3 2 ∈ ℝ
2 1le2 11088 . . 3 1 ≤ 2
3 chpdifbnd 24961 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
41, 2, 3mp2an 703 . 2 𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6 ioossre 12062 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) ⊆ ℝ
7 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
86, 7sseldi 3565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9 eliooord 12060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
1110simpld 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
128, 11elrpd 11701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1312adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14 4nn 11034 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
15 nnrp 11674 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
17 rpdivcl 11688 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
195, 18rpdivcld 11721 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
2019rpred 11704 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
2120rpefcld 14620 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22 pntibndlem3.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
2322adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
2421, 23rpaddcld 11719 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
2524adantrr 748 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26 elioore 12032 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726ad2antll 760 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
2823rpred 11704 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
2928adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
3020reefcld 14603 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
3130, 28readdcld 9925 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
3231adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
3328, 21ltaddrp2d 11738 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
3433adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
35 eliooord 12060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦𝑦 < +∞))
3635simpld 473 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
3736ad2antll 760 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
3829, 32, 27, 34, 37lttrd 10049 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
3929rexrd 9945 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
40 elioopnf 12094 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
4227, 38, 41mpbir2and 958 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
4342adantlrr 752 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
44 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
45 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4645adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4746rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
48 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
491, 47, 48sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
50 2rp 11669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
51 relogcl 24043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℝ
53 readdcl 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
5449, 52, 53sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
5544, 54syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
5655, 13rerpdivcld 11735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
5756reefcld 14603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
58 elicopnf 12096 . . . . . . . . . . . . . 14 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6059simprbda 650 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6160rehalfcld 11126 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
62 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
6313rphalfcld 11716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
6447, 63rerpdivcld 11735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
6564reefcld 14603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
66 remulcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
6765, 1, 66sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
6867adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
6957adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7064recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
7152recni 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℂ
72 efadd 14609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
7370, 71, 72sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
74 reeflog 24048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
7550, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(log‘2)) = 2
7675oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
7773, 76syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
7852a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
79 rerpdivcl 11693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8052, 13, 79sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8171div1i 10602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((log‘2) / 1) = (log‘2)
8210simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 < 1)
8382adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
848adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
85 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
86 ltle 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
8784, 85, 86sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
8883, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
8913rpregt0d 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
90 1rp 11668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
91 rpregt0 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
93 1lt2 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
94 rplogcl 24071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
951, 93, 94mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (log‘2) ∈ ℝ+
96 rpregt0 11678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
98 lediv2 10762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
9989, 92, 97, 98syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10088, 99mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10181, 100syl5eqbrr 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10278, 80, 64, 101leadd2dd 10491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
10344oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
10449recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
10571a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
106 rpcnne0 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
10713, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
108 divdir 10559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
109104, 105, 107, 108syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
110103, 109syl5eq 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
1111recni 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
11247recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
113 mulcom 9878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
114111, 112, 113sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
115114oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
116 rpcnne0 11682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11750, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
118 divdiv2 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
119112, 107, 117, 118syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
120115, 119eqtr4d 2646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
121120oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
122110, 121eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
123102, 122breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
124 readdcl 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
12564, 52, 124sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
126 efle 14633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
127125, 56, 126syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
128123, 127mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
12977, 128eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
130129adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13159simplbda 651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
13268, 69, 60, 130, 131letrd 10045 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
13365adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
134 rpregt0 11678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
13550, 134mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
136 lemuldiv 10752 . . . . . . . . . . . . . 14 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
137133, 60, 135, 136syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
138132, 137mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
13962, 138syl5eqbr 4612 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
14062, 133syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
141 elicopnf 12096 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
14361, 139, 142mpbir2and 958 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
144143adantrr 748 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
145144adantlrr 752 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
146 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
147146ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
148 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
149148breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
150149anbi2d 735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
151150anbi1d 736 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
152151rexbidv 3033 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
153152ralbidv 2968 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
154153rspcv 3277 . . . . . . . 8 ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) → (∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
155145, 147, 154sylc 62 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
156 breq2 4581 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖𝑣 < 𝑛))
157 breq1 4580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
158156, 157anbi12d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
159 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑛))
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛𝑖 = 𝑛)
161159, 160oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅𝑖) / 𝑖) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
162161fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
163162breq1d 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
164158, 163anbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
165164cbvrexv 3147 . . . . . . . . 9 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
166 breq1 4580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛𝑦 < 𝑛))
167 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
168167breq2d 4589 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
169166, 168anbi12d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
170169anbi1d 736 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
171170rexbidv 3033 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
172165, 171syl5bb 270 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
173172rspcv 3277 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
17443, 155, 173sylc 62 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
175 pntibnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
176 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
177176ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
178 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
179 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
180 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑣))
181 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣𝑥 = 𝑣)
182180, 181oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑣) / 𝑣))
183182fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)))
184183breq1d 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
185184cbvralv 3146 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
186179, 185sylib 206 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
187186ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
18845ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1897ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
19022ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
191 simprrl 799 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
192 simplrl 795 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
193 simplrr 796 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
194 eqid 2609 . . . . . . . 8 ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
195 simprll 797 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
196 simprlr 798 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
197 simprrr 800 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
198175, 177, 178, 187, 188, 62, 44, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197pntibndlem2 24997 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199198anassrs 677 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200174, 199rexlimddv 3016 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
201200ralrimivva 2953 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
202 oveq1 6534 . . . . . . 7 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
203202raleqdv 3120 . . . . . 6 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
204203ralbidv 2968 . . . . 5 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
205204rspcev 3281 . . . 4 ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
20625, 201, 205syl2anc 690 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
207206rexlimdvaa 3013 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
2084, 207mpi 20 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  +crp 11664  (,)cioo 12002  [,)cico 12004  [,]cicc 12005  abscabs 13768  expce 14577  logclog 24022  ψcchp 24536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-o1 14015  df-lo1 14016  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-cmp 20942  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-cxp 24025  df-em 24436  df-cht 24540  df-vma 24541  df-chp 24542  df-ppi 24543  df-mu 24544
This theorem is referenced by:  pntibnd  24999
  Copyright terms: Public domain W3C validator