MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlema Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlema 24997
Description: Lemma for pnt 25015. Closure for the constants used in the proof. The mammoth expression 𝑊 is a number large enough to satisfy all the lower bounds needed for 𝑍. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑌 is x2, 𝑋 is x1, 𝐶 is the big-O constant in Equation 10.6.29 of [Shapiro], p. 435, and 𝑊 is the unnamed lower bound of "for sufficiently large x" in Equation 10.6.34 of [Shapiro], p. 436. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
Assertion
Ref Expression
pntlema (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntlema
StepHypRef Expression
1 pntlem1.w . 2 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
2 pntlem1.y . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
32simpld 473 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
4 4nn 11029 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
5 nnrp 11669 . . . . . . 7 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6 4 ∈ ℝ+
7 pntlem1.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
8 pntlem1.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
9 pntlem1.b . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
10 pntlem1.l . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
11 pntlem1.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (𝐴 + 1)
12 pntlem1.f . . . . . . . . 9 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
137, 8, 9, 10, 11, 12pntlemd 24995 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
1413simp1d 1065 . . . . . . 7 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
16 pntlem1.u2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝐴)
17 pntlem1.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
18 pntlem1.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
197, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 17, 18pntlemc 24996 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
2019simp1d 1065 . . . . . . 7 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
2114, 20rpmulcld 11715 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
22 rpdivcl 11683 . . . . . 6 ((4 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
236, 21, 22sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (4 / (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
243, 23rpaddcld 11714 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+)
25 2z 11237 . . . 4 2 ∈ ℤ
26 rpexpcl 12691 . . . 4 (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸))) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
2724, 25, 26sylancl 692 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) ∈ ℝ+)
28 pntlem1.x . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
2928simpld 473 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
3019simp2d 1066 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
31 rpexpcl 12691 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
3230, 25, 31sylancl 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ+)
3329, 32rpmulcld 11715 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+)
34 4z 11239 . . . . 5 4 ∈ ℤ
35 rpexpcl 12691 . . . . 5 (((𝑋 · (𝐾↑2)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
3633, 34, 35sylancl 692 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) ∈ ℝ+)
37 3nn0 11152 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
38 2nn 11027 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
3937, 38decnncl 11345 . . . . . . . . . 10 32 ∈ ℕ
40 nnrp 11669 . . . . . . . . . 10 (32 ∈ ℕ → 32 ∈ ℝ+)
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . 9 32 ∈ ℝ+
42 rpmulcl 11682 . . . . . . . . 9 ((32 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+) → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4341, 9, 42sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (32 · 𝐵) ∈ ℝ+)
4419simp3d 1067 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
4544simp3d 1067 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)
46 rpexpcl 12691 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4720, 25, 46sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸↑2) ∈ ℝ+)
4814, 47rpmulcld 11715 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿 · (𝐸↑2)) ∈ ℝ+)
4945, 48rpmulcld 11715 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2))) ∈ ℝ+)
5043, 49rpdivcld 11716 . . . . . . 7 (𝜑 → ((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) ∈ ℝ+)
51 3nn 11028 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
52 nnrp 11669 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ+
54 rpmulcl 11682 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
5515, 53, 54sylancl 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑈 · 3) ∈ ℝ+)
56 pntlem1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
5755, 56rpaddcld 11714 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑈 · 3) + 𝐶) ∈ ℝ+)
5850, 57rpmulcld 11715 . . . . . 6 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ+)
5958rpred 11699 . . . . 5 (𝜑 → (((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)) ∈ ℝ)
6059rpefcld 14615 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))) ∈ ℝ+)
6136, 60rpaddcld 11714 . . 3 (𝜑 → (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))) ∈ ℝ+)
6227, 61rpaddcld 11714 . 2 (𝜑 → (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶))))) ∈ ℝ+)
631, 62syl5eqel 2686 1 (𝜑𝑊 ∈ ℝ+)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4572  cmpt 4632  cfv 5785  (class class class)co 6522  0cc0 9787  1c1 9788   + caddc 9790   · cmul 9792   < clt 9925  cle 9926  cmin 10112   / cdiv 10528  cn 10862  2c2 10912  3c3 10913  4c4 10914  cz 11205  cdc 11320  +crp 11659  (,)cioo 11997  cexp 12672  expce 14572  ψcchp 24531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-oadd 7423  df-er 7601  df-pm 7719  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-rp 11660  df-ioo 12001  df-ico 12003  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-seq 12614  df-exp 12673  df-fac 12873  df-bc 12902  df-hash 12930  df-shft 13596  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-limsup 13991  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-sum 14206  df-ef 14578
This theorem is referenced by:  pntlemb  24998  pntleme  25009
  Copyright terms: Public domain W3C validator