MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemg 25332
Description: Lemma for pnt 25348. Closure for the constants used in the proof. For comparison with Equation 10.6.27 of [Shapiro], p. 434, 𝑀 is j^* and 𝑁 is ĵ. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
Assertion
Ref Expression
pntlemg (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemg
StepHypRef Expression
1 pntlem1.m . . 3 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
2 pntlem1.x . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
32simpld 474 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
43rpred 11910 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
5 1red 10093 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
76simpld 474 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
87rpred 11910 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
96simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝑌)
102simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 < 𝑋)
115, 8, 4, 9, 10lelttrd 10233 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝑋)
124, 11rplogcld 24420 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ+)
13 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
14 pntlem1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
15 pntlem1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
16 pntlem1.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
17 pntlem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐴 + 1)
18 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
19 pntlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
20 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
21 pntlem1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
22 pntlem1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
2313, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22pntlemc 25329 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
2423simp2d 1094 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
2524rpred 11910 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2623simp3d 1095 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
2726simp2d 1094 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 < 𝐾)
2825, 27rplogcld 24420 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
2912, 28rpdivcld 11927 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ+)
3029rprege0d 11917 . . . 4 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐾))))
31 flge0nn0 12661 . . . 4 ((((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) → (⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) ∈ ℕ0)
32 nn0p1nn 11370 . . . 4 ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1) ∈ ℕ)
3330, 31, 323syl 18 . . 3 (𝜑 → ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1) ∈ ℕ)
341, 33syl5eqel 2734 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3534nnzd 11519 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
36 pntlem1.n . . . 4 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
37 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
38 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
39 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
4013, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 6, 2, 37, 38, 39pntlemb 25331 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
4140simp1d 1093 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
4241relogcld 24414 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
4342, 28rerpdivcld 11941 . . . . . 6 (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
4443rehalfcld 11317 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
4544flcld 12639 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)) ∈ ℤ)
4636, 45syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
47 0red 10079 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
48 4nn 11225 . . . . . 6 4 ∈ ℕ
49 nndivre 11094 . . . . . 6 ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
5043, 48, 49sylancl 695 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ)
5146zred 11520 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5234nnred 11073 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
5351, 52resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
5441rpred 11910 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ ℝ)
5540simp2d 1094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)))
5655simp1d 1093 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝑍)
5754, 56rplogcld 24420 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝑍) ∈ ℝ+)
5857, 28rpdivcld 11927 . . . . . . 7 (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ+)
59 4re 11135 . . . . . . . 8 4 ∈ ℝ
60 4pos 11154 . . . . . . . 8 0 < 4
6159, 60elrpii 11873 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ+
62 rpdivcl 11894 . . . . . . 7 ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ+)
6358, 61, 62sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ+)
6463rpge0d 11914 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
6550recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℂ)
6634nncnd 11074 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
67 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6865, 66, 67addassd 10100 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) + 1) = ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (𝑀 + 1)))
6952, 5readdcld 10107 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7050, 69readdcld 10107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
71 peano2re 10247 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
7251, 71syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
7329rpred 11910 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
74 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
7673, 75readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ∈ ℝ)
77 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → (⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) ∈ ℝ)
7873, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) ∈ ℝ)
7978recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) ∈ ℂ)
8079, 67, 67addassd 10100 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1) + 1) = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + (1 + 1)))
811oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 + 1) = (((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1) + 1)
82 df-2 11117 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
8382oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 2) = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + (1 + 1))
8480, 81, 833eqtr4g 2710 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 + 1) = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 2))
85 flle 12640 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → (⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)))
8673, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) ≤ ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)))
8778, 73, 75, 86leadd1dd 10679 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 2) ≤ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
8884, 87eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2))
8940simp3d 1095 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍))))
9089simp2d 1094 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
9169, 76, 50, 88, 90letrd 10232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 + 1) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
9269, 50, 50, 91leadd2dd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (𝑀 + 1)) ≤ ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4)))
9343recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℂ)
94 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
95 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 0
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9793, 94, 94, 96, 96divdiv1d 10870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) / 2) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / (2 · 2)))
98 2t2e4 11215 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · 2) = 4
9998oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / (2 · 2)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4)
10097, 99syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) / 2) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4))
101100oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) / 2)) = (2 · (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4)))
10244recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℂ)
103102, 94, 96divcan2d 10841 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) / 2)) = (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
104652timesd 11313 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4)) = ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4)))
105101, 103, 1043eqtr3d 2693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) = ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4)))
10692, 105breqtrrd 4713 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (𝑀 + 1)) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
107 fllep1 12642 . . . . . . . . . . 11 ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ≤ ((⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)) + 1))
10844, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ≤ ((⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)) + 1))
10936oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (𝑁 + 1) = ((⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)) + 1)
110108, 109syl6breqr 4727 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ≤ (𝑁 + 1))
11170, 44, 72, 106, 110letrd 10232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + (𝑀 + 1)) ≤ (𝑁 + 1))
11268, 111eqbrtrd 4707 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) + 1) ≤ (𝑁 + 1))
11350, 52readdcld 10107 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) ∈ ℝ)
114113, 51, 5leadd1d 10659 . . . . . . 7 (𝜑 → (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) + 1) ≤ (𝑁 + 1)))
115112, 114mpbird 247 . . . . . 6 (𝜑 → ((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) ≤ 𝑁)
116 leaddsub 10542 . . . . . . 7 (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
11750, 52, 51, 116syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) + 𝑀) ≤ 𝑁 ↔ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
118115, 117mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀))
11947, 50, 53, 64, 118letrd 10232 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁𝑀))
12051, 52subge0d 10655 . . . 4 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁𝑀) ↔ 𝑀𝑁))
121119, 120mpbid 222 . . 3 (𝜑𝑀𝑁)
122 eluz2 11731 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
12335, 46, 121, 122syl3anbrc 1265 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
12434, 123, 1183jca 1261 1 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  0cn0 11330  cz 11415  cdc 11531  cuz 11725  +crp 11870  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  cfl 12631  cexp 12900  csqrt 14017  expce 14836  eceu 14837  logclog 24346  ψcchp 24864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-e 14843  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348
This theorem is referenced by:  pntlemh  25333  pntlemq  25335  pntlemr  25336  pntlemj  25337  pntlemf  25339
  Copyright terms: Public domain W3C validator