Theorem pntlemh 26169

Description: Lemma for pnt 26184. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d	⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f	⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2	⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
pntlem1.e	⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k	⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w	⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m	⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n	⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))

Assertion

Ref	Expression
pntlemh	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Distinct variable group:   𝐸,𝑎

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝑌 < 𝑋))
2	1	simpld 497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
3	2	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
4	3	relogcld 25200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5		pntlem1.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6		pntlem1.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ+)
7		pntlem1.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+)
8		pntlem1.l	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (0(,)1))
9		pntlem1.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (𝐴 + 1)
10		pntlem1.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (;32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11		pntlem1.u	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ+)
12		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ≤ 𝐴)
13		pntlem1.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14		pntlem1.k	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
15	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	pntlemc 26165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+)))
16	15	simp2d 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
18	15	simp3d 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈 − 𝐸) ∈ ℝ+))
19	18	simp2d 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝐾)
20	17, 19	rplogcld 25206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
22	4, 21	rerpdivcld 12456	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23		pntlem1.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24		pntlem1.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ+)
25		pntlem1.w	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((;32 · 𝐵) / ((𝑈 − 𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26		pntlem1.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27		pntlem1.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28		pntlem1.n	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
29	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28	pntlemg 26168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁 − 𝑀)))
30	29	simp1d 1138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
31	30	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
32	31	nnred 11647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33		elfzuz 12898	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
34		eluznn 12312	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
35	30, 33, 34	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
36	35	nnred 11647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37		flltp1 13164	. . . . . . . 8 ⊢ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
38	22, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
39	38, 27	breqtrrdi 5100	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40		elfzle1 12904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝐽)
41	40	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐽)
42	22, 32, 36, 39, 41	ltletrd 10794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
43	4, 36, 21	ltdivmul2d 12477	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
44	42, 43	mpbid 234	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
45	16	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46		elfzelz 12902	. . . . . 6 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
47	46	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48		relogexp 25173	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
49	45, 47, 48	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾↑𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
50	44, 49	breqtrrd 5086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽)))
51	45, 47	rpexpcld 13602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+)
52		logltb 25177	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
53	3, 51, 52	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾↑𝐽))))
54	50, 53	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾↑𝐽))
55	49	oveq2d 7166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56		2z 12008	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		relogexp 25173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
58	51, 56, 57	sylancl 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾↑𝐽))))
59		2cnd 11709	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
60	36	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
61	45	relogcld 25200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
62	61	recnd 10663	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
63	59, 60, 62	mulassd 10658	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
64	55, 58, 63	3eqtr4d 2866	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65		elfzle2 12905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ≤ 𝑁)
66	65	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ 𝑁)
67	66, 28	breqtrdi 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
68	5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26	pntlemb 26167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈 − 𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (;32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
69	68	simp1d 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℝ+)
70	69	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
71	70	relogcld 25200	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
72	71, 21	rerpdivcld 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
73	72	rehalfcld 11878	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74		flge 13169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
75	73, 47, 74	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
76	67, 75	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77		2re 11705	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79		2pos 11734	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 2
80	79	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81		lemuldiv2 11515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
82	36, 72, 78, 80, 81	syl112anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
83	76, 82	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84		remulcl 10616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
85	77, 36, 84	sylancr 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
86	85, 71, 21	lemuldivd 12474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
87	83, 86	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
88	64, 87	eqbrtrd 5080	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89		rpexpcl 13442	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
90	51, 56, 89	sylancl 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
91	90, 70	logled 25204	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾↑𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
92	88, 91	mpbird 259	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
93	70	rprege0d 12432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94		resqrtth 14609	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
95	93, 94	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
96	92, 95	breqtrrd 5086	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
97	51	rprege0d 12432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)))
98	70	rpsqrtcld 14765	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
99	98	rprege0d 12432	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100		le2sq 13493	. . . 4 ⊢ ((((𝐾↑𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾↑𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
101	97, 99, 100	syl2anc 586	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾↑𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
102	96, 101	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍))
103	54, 102	jca 514	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾↑𝐽) ∧ (𝐾↑𝐽) ≤ (√‘𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536  +∞cpnf 10666   < clt 10669   ≤ cle 10670   − cmin 10864   / cdiv 11291  ℕcn 11632  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  ℤcz 11975  ;cdc 12092  ℤ_≥cuz 12237  ℝ⁺crp 12383  (,)cioo 12732  [,)cico 12734  ...cfz 12886  ⌊cfl 13154  ↑cexp 13423  √csqrt 14586  expce 15409  eceu 15410  logclog 25132  ψcchp 25664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-e 15416  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134

This theorem is referenced by:  pntlemr  26172  pntlemj  26173  pntlemi  26174  pntlemf  26175