MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemh Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemh 25222
Description: Lemma for pnt 25237. Bounds on the subintervals in the induction. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
Assertion
Ref Expression
pntlemh ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Distinct variable group:   𝐸,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝐴(𝑎)   𝐵(𝑎)   𝐶(𝑎)   𝐷(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑎)   𝐹(𝑎)   𝐽(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑊(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)   𝑍(𝑎)

Proof of Theorem pntlemh
StepHypRef Expression
1 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
21simpld 475 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
32adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
43relogcld 24307 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
5 pntlem1.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
6 pntlem1.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
7 pntlem1.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.l . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
9 pntlem1.d . . . . . . . . . . . 12 𝐷 = (𝐴 + 1)
10 pntlem1.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
11 pntlem1.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
12 pntlem1.u2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈𝐴)
13 pntlem1.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
14 pntlem1.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
155, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14pntlemc 25218 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1615simp2d 1072 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
1716rpred 11832 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
1815simp3d 1073 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+))
1918simp2d 1072 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < 𝐾)
2017, 19rplogcld 24313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
2120adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ+)
224, 21rerpdivcld 11863 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
23 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
24 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
25 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
26 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
27 pntlem1.m . . . . . . . . . 10 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
28 pntlem1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
295, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26, 27, 28pntlemg 25221 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
3029simp1d 1071 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
3231nnred 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
33 elfzuz 12296 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
34 eluznn 11718 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3530, 33, 34syl2an 494 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℕ)
3635nnred 10995 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℝ)
37 flltp1 12557 . . . . . . . 8 (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3822, 37syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1))
3938, 27syl6breqr 4665 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝑀)
40 elfzle1 12302 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝐽)
4140adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐽)
4222, 32, 36, 39, 41ltletrd 10157 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽)
434, 36, 21ltdivmul2d 11884 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) < 𝐽 ↔ (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾))))
4442, 43mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (𝐽 · (log‘𝐾)))
4516adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ+)
46 elfzelz 12300 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
4746adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℤ)
48 relogexp 24280 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+𝐽 ∈ ℤ) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
4945, 47, 48syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘(𝐾𝐽)) = (𝐽 · (log‘𝐾)))
5044, 49breqtrrd 4651 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽)))
5145, 47rpexpcld 12988 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
52 logltb 24284 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐾𝐽) ∈ ℝ+) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
533, 51, 52syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ↔ (log‘𝑋) < (log‘(𝐾𝐽))))
5450, 53mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 < (𝐾𝐽))
5549oveq2d 6631 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · (log‘(𝐾𝐽))) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
56 2z 11369 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
57 relogexp 24280 . . . . . . . 8 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
5851, 56, 57sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = (2 · (log‘(𝐾𝐽))))
59 2cnd 11053 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℂ)
6036recnd 10028 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ∈ ℂ)
6145relogcld 24307 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℝ)
6261recnd 10028 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝐾) ∈ ℂ)
6359, 60, 62mulassd 10023 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) = (2 · (𝐽 · (log‘𝐾))))
6455, 58, 633eqtr4d 2665 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) = ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)))
65 elfzle2 12303 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝐽𝑁)
6665adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽𝑁)
6766, 28syl6breq 4664 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
685, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 23, 1, 24, 25, 26pntlemb 25220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
6968simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
7069adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
7170relogcld 24307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘𝑍) ∈ ℝ)
7271, 21rerpdivcld 11863 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ)
7372rehalfcld 11239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ)
74 flge 12562 . . . . . . . . . 10 (((((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7573, 47, 74syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2) ↔ 𝐽 ≤ (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))))
7667, 75mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
77 2re 11050 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
7877a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
79 2pos 11072 . . . . . . . . . 10 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → 0 < 2)
81 lemuldiv2 10864 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8236, 72, 78, 80, 81syl112anc 1327 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) ↔ 𝐽 ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2)))
8376, 82mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾)))
84 remulcl 9981 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8577, 36, 84sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (2 · 𝐽) ∈ ℝ)
8685, 71, 21lemuldivd 11881 . . . . . . 7 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍) ↔ (2 · 𝐽) ≤ ((log‘𝑍) / (log‘𝐾))))
8783, 86mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((2 · 𝐽) · (log‘𝐾)) ≤ (log‘𝑍))
8864, 87eqbrtrd 4645 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍))
89 rpexpcl 12835 . . . . . . 7 (((𝐾𝐽) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9051, 56, 89sylancl 693 . . . . . 6 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ∈ ℝ+)
9190, 70logled 24311 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍 ↔ (log‘((𝐾𝐽)↑2)) ≤ (log‘𝑍)))
9288, 91mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ 𝑍)
9370rprege0d 11839 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍))
94 resqrtth 13946 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑍) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9593, 94syl 17 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍)↑2) = 𝑍)
9692, 95breqtrrd 4651 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2))
9751rprege0d 11839 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)))
9870rpsqrtcld 14100 . . . . 5 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (√‘𝑍) ∈ ℝ+)
9998rprege0d 11839 . . . 4 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍)))
100 le2sq 12894 . . . 4 ((((𝐾𝐽) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐾𝐽)) ∧ ((√‘𝑍) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (√‘𝑍))) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10197, 99, 100syl2anc 692 . . 3 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → ((𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍) ↔ ((𝐾𝐽)↑2) ≤ ((√‘𝑍)↑2)))
10296, 101mpbird 247 . 2 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍))
10354, 102jca 554 1 ((𝜑𝐽 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑋 < (𝐾𝐽) ∧ (𝐾𝐽) ≤ (√‘𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4623  cmpt 4683  cfv 5857  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  +∞cpnf 10031   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  3c3 11031  4c4 11032  cz 11337  cdc 11453  cuz 11647  +crp 11792  (,)cioo 12133  [,)cico 12135  ...cfz 12284  cfl 12547  cexp 12816  csqrt 13923  expce 14736  eceu 14737  logclog 24239  ψcchp 24753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-e 14743  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241
This theorem is referenced by:  pntlemr  25225  pntlemj  25226  pntlemi  25227  pntlemf  25228
  Copyright terms: Public domain W3C validator