MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntlemq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntlemq 25190
Description: Lemma for pntlemj 25192. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntlem1.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntlem1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntlem1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntlem1.l (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
pntlem1.d 𝐷 = (𝐴 + 1)
pntlem1.f 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
pntlem1.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
pntlem1.u2 (𝜑𝑈𝐴)
pntlem1.e 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
pntlem1.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
pntlem1.y (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
pntlem1.x (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
pntlem1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
pntlem1.w 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
pntlem1.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
pntlem1.m 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
pntlem1.n 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
pntlem1.U (𝜑 → ∀𝑧 ∈ (𝑌[,)+∞)(abs‘((𝑅𝑧) / 𝑧)) ≤ 𝑈)
pntlem1.K (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝐾 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.o 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
pntlem1.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
pntlem1.V (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
pntlem1.j (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
pntlem1.i 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
Assertion
Ref Expression
pntlemq (𝜑𝐼𝑂)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐶   𝑦,𝑧,𝐽   𝑦,𝑢,𝑧,𝐿   𝑦,𝐾,𝑧   𝑧,𝑀   𝑧,𝑂   𝑧,𝑁   𝑢,𝑅,𝑦,𝑧   𝑢,𝑉   𝑧,𝑈   𝑧,𝑊   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑌   𝑢,𝑎,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝑍,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐵(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐶(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝑈(𝑦,𝑢,𝑎)   𝐹(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐼(𝑦,𝑧,𝑢,𝑎)   𝐽(𝑢,𝑎)   𝐾(𝑢,𝑎)   𝐿(𝑎)   𝑀(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑁(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑂(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑉(𝑦,𝑧,𝑎)   𝑊(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑋(𝑢,𝑎)   𝑌(𝑦,𝑢,𝑎)   𝑍(𝑦,𝑎)

Proof of Theorem pntlemq
StepHypRef Expression
1 pntlem1.r . . . . . . . . . 10 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2 pntlem1.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
3 pntlem1.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4 pntlem1.l . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (0(,)1))
5 pntlem1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝐴 + 1)
6 pntlem1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = ((1 − (1 / 𝐷)) · ((𝐿 / (32 · 𝐵)) / (𝐷↑2)))
7 pntlem1.u . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ ℝ+)
8 pntlem1.u2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈𝐴)
9 pntlem1.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (𝑈 / 𝐷)
10 pntlem1.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (exp‘(𝐵 / 𝐸))
11 pntlem1.y . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 𝑌))
12 pntlem1.x . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ+𝑌 < 𝑋))
13 pntlem1.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
14 pntlem1.w . . . . . . . . . 10 𝑊 = (((𝑌 + (4 / (𝐿 · 𝐸)))↑2) + (((𝑋 · (𝐾↑2))↑4) + (exp‘(((32 · 𝐵) / ((𝑈𝐸) · (𝐿 · (𝐸↑2)))) · ((𝑈 · 3) + 𝐶)))))
15 pntlem1.z . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ (𝑊[,)+∞))
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15pntlemb 25186 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍 ∈ ℝ+ ∧ (1 < 𝑍 ∧ e ≤ (√‘𝑍) ∧ (√‘𝑍) ≤ (𝑍 / 𝑌)) ∧ ((4 / (𝐿 · 𝐸)) ≤ (√‘𝑍) ∧ (((log‘𝑋) / (log‘𝐾)) + 2) ≤ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ∧ ((𝑈 · 3) + 𝐶) ≤ (((𝑈𝐸) · ((𝐿 · (𝐸↑2)) / (32 · 𝐵))) · (log‘𝑍)))))
1716simp1d 1071 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
181, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10pntlemc 25184 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℝ+𝐾 ∈ ℝ+ ∧ (𝐸 ∈ (0(,)1) ∧ 1 < 𝐾 ∧ (𝑈𝐸) ∈ ℝ+)))
1918simp2d 1072 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ ℝ+)
20 pntlem1.j . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁))
21 elfzoelz 12411 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ ℤ)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
2322peano2zd 11429 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
2419, 23rpexpcld 12972 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ+)
2517, 24rpdivcld 11833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ+)
2625rpred 11816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
2726flcld 12539 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ)
28 1rp 11780 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ+
291, 2, 3, 4, 5, 6pntlemd 25183 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐿 ∈ ℝ+𝐷 ∈ ℝ+𝐹 ∈ ℝ+))
3029simp1d 1071 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
3118simp1d 1071 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
3230, 31rpmulcld 11832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+)
33 rpaddcl 11798 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (𝐿 · 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
3428, 32, 33sylancr 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (𝐿 · 𝐸)) ∈ ℝ+)
35 pntlem1.v . . . . . . . . 9 (𝜑𝑉 ∈ ℝ+)
3634, 35rpmulcld 11832 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ+)
3717, 36rpdivcld 11833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ+)
3837rpred 11816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ)
3938flcld 12539 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ)
4036rpred 11816 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ∈ ℝ)
4124rpred 11816 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
42 pntlem1.V . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑉[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
4342simpld 475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐾𝐽) < 𝑉 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽))))
4443simprd 479 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾 · (𝐾𝐽)))
4519rpcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4619, 22rpexpcld 12972 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ+)
4746rpcnd 11818 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℂ)
4845, 47mulcomd 10005 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
49 pntlem1.m . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 = ((⌊‘((log‘𝑋) / (log‘𝐾))) + 1)
50 pntlem1.n . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = (⌊‘(((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 2))
511, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 49, 50pntlemg 25187 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (((log‘𝑍) / (log‘𝐾)) / 4) ≤ (𝑁𝑀)))
5251simp1d 1071 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
53 elfzouz 12415 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
5420, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑀))
55 eluznn 11702 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐽 ∈ ℕ)
5652, 54, 55syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
5756nnnn0d 11295 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5845, 57expp1d 12949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾↑(𝐽 + 1)) = ((𝐾𝐽) · 𝐾))
5948, 58eqtr4d 2658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · (𝐾𝐽)) = (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6044, 59breqtrd 4639 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) < (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6140, 41, 60ltled 10129 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)))
6236, 24, 17lediv2d 11840 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉) ≤ (𝐾↑(𝐽 + 1)) ↔ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6361, 62mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))
64 flwordi 12553 . . . . . 6 (((𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))) ≤ (𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
6526, 38, 63, 64syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))))
66 eluz2 11637 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) ≤ (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉)))))
6727, 39, 65, 66syl3anbrc 1244 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))))
68 eluzp1p1 11657 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1))))) → ((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)))
69 fzss1 12322 . . . 4 (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)) → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7067, 68, 693syl 18 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
7117, 35rpdivcld 11833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ+)
7271rpred 11816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ)
7372flcld 12539 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ)
7417, 46rpdivcld 11833 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ+)
7574rpred 11816 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ)
7675flcld 12539 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ)
7746rpred 11816 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) ∈ ℝ)
7835rpred 11816 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
7943simpld 475 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝐽) < 𝑉)
8077, 78, 79ltled 10129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐽) ≤ 𝑉)
8146, 35, 17lediv2d 11840 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝐽) ≤ 𝑉 ↔ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))))
8280, 81mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽)))
83 flwordi 12553 . . . . . 6 (((𝑍 / 𝑉) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / (𝐾𝐽)) ∈ ℝ ∧ (𝑍 / 𝑉) ≤ (𝑍 / (𝐾𝐽))) → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
8472, 75, 82, 83syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
85 eluz2 11637 . . . . 5 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ↔ ((⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑍 / 𝑉)) ≤ (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8673, 76, 84, 85syl3anbrc 1244 . . . 4 (𝜑 → (⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))))
87 fzss2 12323 . . . 4 ((⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8886, 87syl 17 . . 3 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
8970, 88sstrd 3593 . 2 (𝜑 → (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉))) ⊆ (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽)))))
90 pntlem1.i . 2 𝐼 = (((⌊‘(𝑍 / ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑉))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / 𝑉)))
91 pntlem1.o . 2 𝑂 = (((⌊‘(𝑍 / (𝐾↑(𝐽 + 1)))) + 1)...(⌊‘(𝑍 / (𝐾𝐽))))
9289, 90, 913sstr4g 3625 1 (𝜑𝐼𝑂)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   · cmul 9885  +∞cpnf 10015   < clt 10018  cle 10019  cmin 10210   / cdiv 10628  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  4c4 11016  cz 11321  cdc 11437  cuz 11631  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,)cico 12119  [,]cicc 12120  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  cfl 12531  cexp 12800  csqrt 13907  abscabs 13908  expce 14717  eceu 14718  logclog 24205  ψcchp 24719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-e 14724  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207
This theorem is referenced by:  pntlemj  25192
  Copyright terms: Public domain W3C validator