MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 24991
Description: Lemma for pntpbnd 24994. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntpbnd1a.2 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
pntpbnd1a.3 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 11702 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
43pntrf 24969 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6251 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 11735 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 9924 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
98abscld 13969 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 24090 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 11735 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 12062 . . 3 (0(,)1) ⊆ ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sseldi 3565 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 9924 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
161nnred 10882 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 9924 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
181nnne0d 10912 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1915, 17, 18absdivd 13988 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)))
201nnnn0d 11198 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 11201 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
2216, 21absidd 13955 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322oveq2d 6543 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2643 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2515abscld 13969 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 10884 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
27 vmacl 24561 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 10199 . . . . . . . 8 ((Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3130recnd 9924 . . . . . 6 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3231abscld 13969 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
3426nnrpd 11702 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 24968 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
373pntrval 24968 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
3936, 38oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
40 peano2re 10060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 24567 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 9924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
4541recnd 9924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
46 chpcl 24567 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4847recnd 9924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
4944, 45, 48, 17sub4d 10292 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)))
50 chpp1 24598 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5120, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5251oveq1d 6542 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))) − (ψ‘𝑁)))
5328recnd 9924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
5448, 53pncan2d 10245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
5552, 54eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
56 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
57 pncan2 10139 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5817, 56, 57sylancl 692 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5955, 58oveq12d 6545 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
6039, 49, 593eqtrd 2647 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
6160fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))) = (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
6233, 61breqtrd 4603 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
63 1red 9911 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6463, 10resubcld 10309 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
65 0red 9897 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
66 2re 10937 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
67 eliooord 12060 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6813, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6968simpld 473 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
7014, 69elrpd 11701 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
71 rerpdivcl 11693 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7266, 70, 71sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7366a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
74 1lt2 11041 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7574a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
76 2cn 10938 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
7776div1i 10602 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7868simprd 477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < 1)
79 0lt1 10399 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
81 2pos 10959 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
83 ltdiv2 10758 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8414, 69, 63, 80, 73, 82, 83syl222anc 1333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8578, 84mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8677, 85syl5eqbrr 4613 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 < (2 / 𝐸))
8763, 73, 72, 75, 86lttrd 10049 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (2 / 𝐸))
88 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
8972rpefcld 14620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
9088, 89syl5eqel 2691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
9190rpred 11704 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
92 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
9390rpxrd 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
94 elioopnf 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9692, 95mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
9796simpld 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9896simprd 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 < 𝑌)
99 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
10099simpld 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 < 𝑁)
10191, 97, 16, 98, 100lttrd 10049 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < 𝑁)
10288, 101syl5eqbrr 4613 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1032reeflogd 24091 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
104102, 103breqtrrd 4605 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁)))
105 eflt 14632 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
10672, 10, 105syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
107104, 106mpbird 245 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) < (log‘𝑁))
10863, 72, 10, 87, 107lttrd 10049 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (log‘𝑁))
10963, 10, 108ltled 10036 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (log‘𝑁))
110 1re 9895 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
111 suble0 10391 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
112110, 10, 111sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
113109, 112mpbird 245 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ 0)
114 vmage0 24564 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11526, 114syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11664, 65, 28, 113, 115letrd 10045 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11734relogcld 24090 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
118 readdcl 9875 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
119110, 10, 118sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
120 vmalelog 24647 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12126, 120syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12273, 16remulcld 9926 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
123 epr 14721 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
124 rpmulcl 11687 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
125123, 2, 124sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
126125rpred 11704 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ)
1271nnge1d 10910 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
12863, 16, 16, 127leadd2dd 10491 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
129172timesd 11122 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
130128, 129breqtrrd 4605 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
131 ere 14604 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
132 egt2lt3 14719 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
133132simpli 472 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13466, 131, 133ltleii 10011 . . . . . . . . . . . 12 2 ≤ e
135134a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ e)
136131a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ∈ ℝ)
1371nngt0d 10911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
138 lemul1 10724 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
13973, 136, 16, 137, 138syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
140135, 139mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁))
14141, 122, 126, 130, 140letrd 10045 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁))
14234, 125logled 24094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁) ↔ (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁))))
143141, 142mpbid 220 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁)))
144 relogmul 24059 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
145123, 2, 144sylancr 693 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
146 loge 24054 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
147146oveq1i 6537 . . . . . . . . 9 ((log‘e) + (log‘𝑁)) = (1 + (log‘𝑁))
148145, 147syl6eq 2659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = (1 + (log‘𝑁)))
149143, 148breqtrd 4603 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
15028, 117, 119, 121, 149letrd 10045 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
15128, 63, 10absdifled 13967 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁) ↔ ((1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)) ∧ (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))))
152116, 150, 151mpbir2and 958 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁))
15325, 32, 10, 62, 152letrd 10045 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
15425, 10, 2, 153lediv1dd 11762 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15524, 154eqbrtrd 4599 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15690relogcld 24090 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
157156, 90rerpdivcld 11735 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) ∈ ℝ)
15863, 72, 87ltled 10036 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (2 / 𝐸))
159 efle 14633 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
160110, 72, 159sylancr 693 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
161158, 160mpbid 220 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸)))
162 df-e 14584 . . . . . . 7 e = (exp‘1)
163161, 162, 883brtr4g 4611 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑋)
164146, 109syl5eqbr 4612 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘e) ≤ (log‘𝑁))
165 logleb 24070 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
166123, 2, 165sylancr 693 . . . . . . 7 (𝜑 → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
167164, 166mpbird 245 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑁)
168 logdivlt 24088 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑁)) → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16991, 163, 16, 167, 168syl22anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
170101, 169mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋))
17188fveq2i 6091 . . . . . . 7 (log‘𝑋) = (log‘(exp‘(2 / 𝐸)))
17272relogefd 24095 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(exp‘(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
173171, 172syl5eq 2655 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) = (2 / 𝐸))
174173oveq1d 6542 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
175 2rp 11669 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
176 rpdivcl 11688 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
177175, 70, 176sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
178177rpcnd 11706 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℂ)
179178sqvald 12822 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)))
180 2cnd 10940 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
18170rpcnne0d 11713 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
182 div12 10556 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183178, 180, 181, 182syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
184179, 183eqtrd 2643 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
185184oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
186177, 70rpdivcld 11721 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
187186rpcnd 11706 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℂ)
188 2ne0 10960 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
189188a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
190187, 180, 189divcan3d 10655 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
191185, 190eqtrd 2643 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19272resqcld 12852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
193192rehalfcld 11126 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
194 1rp 11668 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
195 rpaddcl 11686 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
196194, 177, 195sylancr 693 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
197196rpred 11704 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
198197, 193readdcld 9925 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
199193, 196ltaddrp2d 11738 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
200 efgt1p2 14629 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
201177, 200syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
202201, 88syl6breqr 4619 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
203193, 198, 91, 199, 202lttrd 10049 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
204191, 203eqbrtrrd 4601 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20572, 70, 90, 204ltdiv23d 11769 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
206174, 205eqbrtrd 4599 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) < 𝐸)
20711, 157, 14, 170, 206lttrd 10049 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < 𝐸)
20811, 14, 207ltled 10036 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ≤ 𝐸)
2099, 11, 14, 155, 208letrd 10045 1 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  0cn0 11139  +crp 11664  (,)cioo 12002  cexp 12677  abscabs 13768  expce 14577  eceu 14578  logclog 24022  Λcvma 24535  ψcchp 24536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-e 14584  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-pc 15326  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-vma 24541  df-chp 24542
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  24992
  Copyright terms: Public domain W3C validator