MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntpbnd1a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntpbnd1a 26089
Description: Lemma for pntpbnd 26092. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2016.) Replace reference to OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 8-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
pntpbnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntpbnd1.e (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntpbnd1.x 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
pntpbnd1.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
pntpbnd1a.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
pntpbnd1a.2 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
pntpbnd1a.3 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
Assertion
Ref Expression
pntpbnd1a (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Distinct variable group:   𝑁,𝑎
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐸(𝑎)   𝐾(𝑎)   𝑋(𝑎)   𝑌(𝑎)

Proof of Theorem pntpbnd1a
StepHypRef Expression
1 pntpbnd1a.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
21nnrpd 12419 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ+)
3 pntpbnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
43pntrf 26067 . . . . . . 7 𝑅:ℝ+⟶ℝ
54ffvelrni 6843 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
62, 5syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℝ)
76, 2rerpdivcld 12452 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
87recnd 10658 . . 3 (𝜑 → ((𝑅𝑁) / 𝑁) ∈ ℂ)
98abscld 14786 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
102relogcld 25133 . . 3 (𝜑 → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
1110, 2rerpdivcld 12452 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
12 ioossre 12788 . . 3 (0(,)1) ⊆ ℝ
13 pntpbnd1.e . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
1412, 13sseldi 3964 . 2 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
156recnd 10658 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅𝑁) ∈ ℂ)
161nnred 11642 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1716recnd 10658 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
181nnne0d 11676 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≠ 0)
1915, 17, 18absdivd 14805 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)))
201nnnn0d 11944 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2120nn0ge0d 11947 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑁)
2216, 21absidd 14772 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘𝑁) = 𝑁)
2322oveq2d 7161 . . . 4 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / (abs‘𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2419, 23eqtrd 2856 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) = ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁))
2515abscld 14786 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ∈ ℝ)
261peano2nnd 11644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
27 vmacl 25623 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
29 peano2rem 10942 . . . . . . . 8 ((Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
3130recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑 → ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1) ∈ ℂ)
3231abscld 14786 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
33 pntpbnd1a.3 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))))
3426nnrpd 12419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
353pntrval 26066 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)))
373pntrval 26066 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
382, 37syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑅𝑁) = ((ψ‘𝑁) − 𝑁))
3936, 38oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)))
40 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4116, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
42 chpcl 25629 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
4443recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
4541recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
46 chpcl 25629 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4716, 46syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℝ)
4847recnd 10658 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ψ‘𝑁) ∈ ℂ)
4944, 45, 48, 17sub4d 11035 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (𝑁 + 1)) − ((ψ‘𝑁) − 𝑁)) = (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)))
5028recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
51 chpp1 25660 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5220, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ψ‘(𝑁 + 1)) = ((ψ‘𝑁) + (Λ‘(𝑁 + 1))))
5348, 50, 52mvrladdd 11042 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) = (Λ‘(𝑁 + 1)))
54 ax-1cn 10584 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
55 pncan2 10882 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5617, 54, 55sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 𝑁) = 1)
5753, 56oveq12d 7163 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((ψ‘(𝑁 + 1)) − (ψ‘𝑁)) − ((𝑁 + 1) − 𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5839, 49, 573eqtrd 2860 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁)) = ((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1))
5958fveq2d 6668 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘((𝑅‘(𝑁 + 1)) − (𝑅𝑁))) = (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
6033, 59breqtrd 5084 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)))
61 1red 10631 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6261, 10resubcld 11057 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
63 0red 10633 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
64 2re 11700 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
65 eliooord 12786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6613, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
6766simpld 495 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
6814, 67elrpd 12418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
69 rerpdivcl 12409 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7064, 68, 69sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ)
7164a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
72 1lt2 11797 . . . . . . . . . . . 12 1 < 2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 < 2)
74 2cn 11701 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
7574div1i 11357 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
7666simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 < 1)
77 0lt1 11151 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 1
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 1)
79 2pos 11729 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 2)
81 ltdiv2 11515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8214, 67, 61, 78, 71, 80, 81syl222anc 1378 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐸 < 1 ↔ (2 / 1) < (2 / 𝐸)))
8376, 82mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 1) < (2 / 𝐸))
8475, 83eqbrtrrid 5094 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 < (2 / 𝐸))
8561, 71, 70, 73, 84lttrd 10790 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < (2 / 𝐸))
86 pntpbnd1.x . . . . . . . . . . . . 13 𝑋 = (exp‘(2 / 𝐸))
8770rpefcld 15448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
8886, 87eqeltrid 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
8988rpred 12421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
90 pntpbnd1.y . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞))
9188rpxrd 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
92 elioopnf 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℝ* → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋(,)+∞) ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌)))
9490, 93mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 ∈ ℝ ∧ 𝑋 < 𝑌))
9594simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
9694simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 < 𝑌)
97 pntpbnd1a.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 < 𝑁𝑁 ≤ (𝐾 · 𝑌)))
9897simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑌 < 𝑁)
9989, 95, 16, 96, 98lttrd 10790 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 < 𝑁)
10086, 99eqbrtrrid 5094 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < 𝑁)
1012reeflogd 25134 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (exp‘(log‘𝑁)) = 𝑁)
102100, 101breqtrrd 5086 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁)))
103 eflt 15460 . . . . . . . . . . . 12 (((2 / 𝐸) ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
10470, 10, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((2 / 𝐸) < (log‘𝑁) ↔ (exp‘(2 / 𝐸)) < (exp‘(log‘𝑁))))
105102, 104mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 / 𝐸) < (log‘𝑁))
10661, 70, 10, 85, 105lttrd 10790 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 < (log‘𝑁))
10761, 10, 106ltled 10777 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (log‘𝑁))
108 1re 10630 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
109 suble0 11143 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
110108, 10, 109sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 − (log‘𝑁)) ≤ 0 ↔ 1 ≤ (log‘𝑁)))
111107, 110mpbird 258 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ 0)
112 vmage0 25626 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11326, 112syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11462, 63, 28, 111, 113letrd 10786 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)))
11534relogcld 25133 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
116 readdcl 10609 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℝ ∧ (log‘𝑁) ∈ ℝ) → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
117108, 10, 116sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
118 vmalelog 25709 . . . . . . . 8 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
11926, 118syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(𝑁 + 1)))
12071, 16remulcld 10660 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
121 epr 15551 . . . . . . . . . . . 12 e ∈ ℝ+
122 rpmulcl 12402 . . . . . . . . . . . 12 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
123121, 2, 122sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ+)
124123rpred 12421 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (e · 𝑁) ∈ ℝ)
1251nnge1d 11674 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ 𝑁)
12661, 16, 16, 125leadd2dd 11244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (𝑁 + 𝑁))
127172timesd 11869 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
128126, 127breqtrrd 5086 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑁))
129 ere 15432 . . . . . . . . . . . . 13 e ∈ ℝ
130 egt2lt3 15549 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 < e ∧ e < 3)
131130simpli 484 . . . . . . . . . . . . 13 2 < e
13264, 129, 131ltleii 10752 . . . . . . . . . . . 12 2 ≤ e
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≤ e)
134129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → e ∈ ℝ)
1351nngt0d 11675 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑁)
136 lemul1 11481 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ e ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
13771, 134, 16, 135, 136syl112anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 ≤ e ↔ (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁)))
138133, 137mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ≤ (e · 𝑁))
13941, 120, 124, 128, 138letrd 10786 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁))
14034, 123logled 25137 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + 1) ≤ (e · 𝑁) ↔ (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁))))
141139, 140mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (log‘(e · 𝑁)))
142 relogmul 25102 . . . . . . . . . 10 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
143121, 2, 142sylancr 587 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = ((log‘e) + (log‘𝑁)))
144 loge 25097 . . . . . . . . . 10 (log‘e) = 1
145144oveq1i 7155 . . . . . . . . 9 ((log‘e) + (log‘𝑁)) = (1 + (log‘𝑁))
146143, 145syl6eq 2872 . . . . . . . 8 (𝜑 → (log‘(e · 𝑁)) = (1 + (log‘𝑁)))
147141, 146breqtrd 5084 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14828, 115, 117, 119, 147letrd 10786 . . . . . 6 (𝜑 → (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))
14928, 61, 10absdifled 14784 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁) ↔ ((1 − (log‘𝑁)) ≤ (Λ‘(𝑁 + 1)) ∧ (Λ‘(𝑁 + 1)) ≤ (1 + (log‘𝑁)))))
150114, 148, 149mpbir2and 709 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((Λ‘(𝑁 + 1)) − 1)) ≤ (log‘𝑁))
15125, 32, 10, 60, 150letrd 10786 . . . 4 (𝜑 → (abs‘(𝑅𝑁)) ≤ (log‘𝑁))
15225, 10, 2, 151lediv1dd 12479 . . 3 (𝜑 → ((abs‘(𝑅𝑁)) / 𝑁) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15324, 152eqbrtrd 5080 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ ((log‘𝑁) / 𝑁))
15488relogcld 25133 . . . . 5 (𝜑 → (log‘𝑋) ∈ ℝ)
155154, 88rerpdivcld 12452 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) ∈ ℝ)
15661, 70, 85ltled 10777 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ (2 / 𝐸))
157 efle 15461 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℝ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ) → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
158108, 70, 157sylancr 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 ≤ (2 / 𝐸) ↔ (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸))))
159156, 158mpbid 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (exp‘1) ≤ (exp‘(2 / 𝐸)))
160 df-e 15412 . . . . . . 7 e = (exp‘1)
161159, 160, 863brtr4g 5092 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑋)
162144, 107eqbrtrid 5093 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘e) ≤ (log‘𝑁))
163 logleb 25113 . . . . . . . 8 ((e ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
164121, 2, 163sylancr 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (e ≤ 𝑁 ↔ (log‘e) ≤ (log‘𝑁)))
165162, 164mpbird 258 . . . . . 6 (𝜑 → e ≤ 𝑁)
166 logdivlt 25131 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ e ≤ 𝑁)) → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16789, 161, 16, 165, 166syl22anc 834 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 < 𝑁 ↔ ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋)))
16899, 167mpbid 233 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < ((log‘𝑋) / 𝑋))
16986fveq2i 6667 . . . . . . 7 (log‘𝑋) = (log‘(exp‘(2 / 𝐸)))
17070relogefd 25138 . . . . . . 7 (𝜑 → (log‘(exp‘(2 / 𝐸))) = (2 / 𝐸))
171169, 170syl5eq 2868 . . . . . 6 (𝜑 → (log‘𝑋) = (2 / 𝐸))
172171oveq1d 7160 . . . . 5 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) = ((2 / 𝐸) / 𝑋))
173 2rp 12384 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ+
174 rpdivcl 12404 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℝ+𝐸 ∈ ℝ+) → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
175173, 68, 174sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℝ+)
176175rpcnd 12423 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 / 𝐸) ∈ ℂ)
177176sqvald 13497 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)))
178 2cnd 11704 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
17968rpcnne0d 12430 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
180 div12 11309 . . . . . . . . . . 11 (((2 / 𝐸) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
181176, 178, 179, 180syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) · (2 / 𝐸)) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
182177, 181eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) = (2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)))
183182oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2))
184175, 68rpdivcld 12438 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℝ+)
185184rpcnd 12423 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) ∈ ℂ)
186 2ne0 11730 . . . . . . . . . 10 2 ≠ 0
187186a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ≠ 0)
188185, 178, 187divcan3d 11410 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · ((2 / 𝐸) / 𝐸)) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
189183, 188eqtrd 2856 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) = ((2 / 𝐸) / 𝐸))
19070resqcld 13601 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 / 𝐸)↑2) ∈ ℝ)
191190rehalfcld 11873 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) ∈ ℝ)
192 1rp 12383 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
193 rpaddcl 12401 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ (2 / 𝐸) ∈ ℝ+) → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
194192, 175, 193sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ+)
195194rpred 12421 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 + (2 / 𝐸)) ∈ ℝ)
196195, 191readdcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) ∈ ℝ)
197191, 194ltaddrp2d 12455 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)))
198 efgt1p2 15457 . . . . . . . . . 10 ((2 / 𝐸) ∈ ℝ+ → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
199175, 198syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < (exp‘(2 / 𝐸)))
200199, 86breqtrrdi 5100 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 + (2 / 𝐸)) + (((2 / 𝐸)↑2) / 2)) < 𝑋)
201191, 196, 89, 197, 200lttrd 10790 . . . . . . 7 (𝜑 → (((2 / 𝐸)↑2) / 2) < 𝑋)
202189, 201eqbrtrrd 5082 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝐸) < 𝑋)
20370, 68, 88, 202ltdiv23d 12488 . . . . 5 (𝜑 → ((2 / 𝐸) / 𝑋) < 𝐸)
204172, 203eqbrtrd 5080 . . . 4 (𝜑 → ((log‘𝑋) / 𝑋) < 𝐸)
20511, 155, 14, 168, 204lttrd 10790 . . 3 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) < 𝐸)
20611, 14, 205ltled 10777 . 2 (𝜑 → ((log‘𝑁) / 𝑁) ≤ 𝐸)
2079, 11, 14, 153, 206letrd 10786 1 (𝜑 → (abs‘((𝑅𝑁) / 𝑁)) ≤ 𝐸)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016   class class class wbr 5058  cmpt 5138  cfv 6349  (class class class)co 7145  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11627  2c2 11681  3c3 11682  0cn0 11886  +crp 12379  (,)cioo 12728  cexp 13419  abscabs 14583  expce 15405  eceu 15406  logclog 25065  Λcvma 25597  ψcchp 25598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ioc 12733  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-fac 13624  df-bc 13653  df-hash 13681  df-shft 14416  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-limsup 14818  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-ef 15411  df-e 15412  df-sin 15413  df-cos 15414  df-pi 15416  df-dvds 15598  df-gcd 15834  df-prm 16006  df-pc 16164  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-lp 21674  df-perf 21675  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cncf 23415  df-limc 24393  df-dv 24394  df-log 25067  df-vma 25603  df-chp 25604
This theorem is referenced by:  pntpbnd1  26090
  Copyright terms: Public domain W3C validator