MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrlog2bndlem3 26082
Description: Lemma for pntrlog2bnd 26087. Bound on the difference between the Selberg function and its approximation, inside a sum. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bndlem3.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝜑,𝑛,𝑥   𝑆,𝑛,𝑥,𝑦   𝑅,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem3
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1red 10630 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
2 pntrlog2bndlem3.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
32rpred 12419 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 fzfid 13329 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
6 elfznn 12924 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
76adantl 482 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
87nnred 11641 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ)
9 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
11 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
1211a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
13 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
14 eliooord 12784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
1514adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
1615simpld 495 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
1713, 10, 16ltled 10776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
1810, 12, 17rpgecld 12458 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1918adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑥 ∈ ℝ+)
207nnrpd 12417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2111a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ∈ ℝ+)
2220, 21rpaddcld 12434 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
2319, 22rpdivcld 12436 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+)
24 pntrlog2bnd.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
2524pntrf 26066 . . . . . . . . . . 11 𝑅:ℝ+⟶ℝ
2625ffvelrni 6842 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
2723, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
2827recnd 10657 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
2919, 20rpdivcld 12436 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3025ffvelrni 6842 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 / 𝑛) ∈ ℝ+ → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3231recnd 10657 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) ∈ ℂ)
3328, 32subcld 10985 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℂ)
3433abscld 14784 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℝ)
358, 34remulcld 10659 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℝ)
365, 35fsumrecl 15079 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℝ)
3710, 16rplogcld 25139 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (log‘𝑥) ∈ ℝ+)
3818, 37rpmulcld 12435 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ+)
3936, 38rerpdivcld 12450 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
40 ioossre 12786 . . . 4 (1(,)+∞) ⊆ ℝ
412rpcnd 12421 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
42 o1const 14964 . . . 4 (((1(,)+∞) ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ 𝐴) ∈ 𝑂(1))
4340, 41, 42sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ 𝐴) ∈ 𝑂(1))
44 chpo1ubb 25984 . . . 4 𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑦) ≤ (𝑐 · 𝑦)
45 pntsval.1 . . . . . 6 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
46 simpl 483 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑦) ≤ (𝑐 · 𝑦)) → 𝑐 ∈ ℝ+)
47 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑦) ≤ (𝑐 · 𝑦)) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑦) ≤ (𝑐 · 𝑦))
4845, 24, 46, 47pntrlog2bndlem2 26081 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑦) ≤ (𝑐 · 𝑦)) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
4948rexlimiva 3278 . . . 4 (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+ (ψ‘𝑦) ≤ (𝑐 · 𝑦) → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
5044, 49mp1i 13 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
514, 39, 43, 50o1mul2 14969 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))) ∈ 𝑂(1))
524, 39remulcld 10659 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ℝ)
5332abscld 14784 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) ∈ ℝ)
5428abscld 14784 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
5553, 54resubcld 11056 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) ∈ ℝ)
5645pntsf 26076 . . . . . . . . 9 𝑆:ℝ⟶ℝ
5756ffvelrni 6842 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℝ → (𝑆𝑛) ∈ ℝ)
588, 57syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑆𝑛) ∈ ℝ)
59 2re 11699 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
6059a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℝ)
6120relogcld 25133 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℝ)
628, 61remulcld 10659 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (log‘𝑛)) ∈ ℝ)
6360, 62remulcld 10659 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))) ∈ ℝ)
6458, 63resubcld 11056 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
6555, 64remulcld 10659 . . . . 5 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
665, 65fsumrecl 15079 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
6766, 38rerpdivcld 12450 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℝ)
6867recnd 10657 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ∈ ℂ)
6968abscld 14784 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ℝ)
7052recnd 10657 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ ℂ)
7170abscld 14784 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))) ∈ ℝ)
7266recnd 10657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
7372abscld 14784 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
744, 36remulcld 10659 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝐴 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))) ∈ ℝ)
7565recnd 10657 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℂ)
7675abscld 14784 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
775, 76fsumrecl 15079 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ∈ ℝ)
785, 75fsumabs 15144 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))))
794adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴 ∈ ℝ)
8079, 35remulcld 10659 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐴 · (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))) ∈ ℝ)
8155recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) ∈ ℂ)
8281abscld 14784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))))) ∈ ℝ)
8364recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))) ∈ ℂ)
8483abscld 14784 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ∈ ℝ)
8579, 8remulcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℝ)
8681absge0d 14792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))))))
8783absge0d 14792 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
8832, 28abs2difabsd 14807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))))) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) − (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))))
8932, 28abssubd 14801 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅‘(𝑥 / 𝑛)) − (𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) = (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))
9088, 89breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))))) ≤ (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))
9158recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑆𝑛) ∈ ℂ)
928recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℂ)
937nnne0d 11675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ≠ 0)
9491, 92, 93divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑆𝑛) / 𝑛) ∈ ℂ)
95 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 2 ∈ ℂ)
9661recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (log‘𝑛) ∈ ℂ)
9795, 96mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (2 · (log‘𝑛)) ∈ ℂ)
9894, 97subcld 10985 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛))) ∈ ℂ)
9998, 92absmuld 14802 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛))) · 𝑛)) = ((abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) · (abs‘𝑛)))
10094, 97, 92subdird 11085 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛))) · 𝑛) = ((((𝑆𝑛) / 𝑛) · 𝑛) − ((2 · (log‘𝑛)) · 𝑛)))
10191, 92, 93divcan1d 11405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (((𝑆𝑛) / 𝑛) · 𝑛) = (𝑆𝑛))
10295, 92, 96mul32d 10838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑛) · (log‘𝑛)) = ((2 · (log‘𝑛)) · 𝑛))
10395, 92, 96mulassd 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · 𝑛) · (log‘𝑛)) = (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))
104102, 103eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((2 · (log‘𝑛)) · 𝑛) = (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))
105101, 104oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((𝑆𝑛) / 𝑛) · 𝑛) − ((2 · (log‘𝑛)) · 𝑛)) = ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))
106100, 105eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛))) · 𝑛) = ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))
107106fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛))) · 𝑛)) = (abs‘((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))))
10820rpge0d 12423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ 𝑛)
1098, 108absidd 14770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘𝑛) = 𝑛)
110109oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) · (abs‘𝑛)) = ((abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) · 𝑛))
11199, 107, 1103eqtr3d 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) = ((abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) · 𝑛))
11298abscld 14784 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) ∈ ℝ)
113 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑛 → (𝑆𝑦) = (𝑆𝑛))
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑛𝑦 = 𝑛)
115113, 114oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑛 → ((𝑆𝑦) / 𝑦) = ((𝑆𝑛) / 𝑛))
116 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑛 → (log‘𝑦) = (log‘𝑛))
117116oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑛 → (2 · (log‘𝑦)) = (2 · (log‘𝑛)))
118115, 117oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑛 → (((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦))) = (((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛))))
119118fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑛 → (abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) = (abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))))
120119breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑛 → ((abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) ≤ 𝐴))
121 pntrlog2bndlem3.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝐴)
122121ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ∀𝑦 ∈ (1[,)+∞)(abs‘(((𝑆𝑦) / 𝑦) − (2 · (log‘𝑦)))) ≤ 𝐴)
1237nnge1d 11673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 1 ≤ 𝑛)
124 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
125 elicopnf 12821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℝ → (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛)))
126124, 125ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (1[,)+∞) ↔ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑛))
1278, 123, 126sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ (1[,)+∞))
128120, 122, 127rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) ≤ 𝐴)
129112, 79, 8, 108, 128lemul1ad 11567 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘(((𝑆𝑛) / 𝑛) − (2 · (log‘𝑛)))) · 𝑛) ≤ (𝐴 · 𝑛))
130111, 129eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) ≤ (𝐴 · 𝑛))
13182, 34, 84, 85, 86, 87, 90, 130lemul12ad 11570 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((abs‘((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))))) · (abs‘((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ≤ ((abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · (𝐴 · 𝑛)))
13281, 83absmuld 14802 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) = ((abs‘((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1)))))) · (abs‘((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))))
13341ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝐴 ∈ ℂ)
13434recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) ∈ ℂ)
135133, 92, 134mulassd 10652 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐴 · 𝑛) · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) = (𝐴 · (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))))
136133, 92mulcld 10649 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐴 · 𝑛) ∈ ℂ)
137136, 134mulcomd 10650 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝐴 · 𝑛) · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · (𝐴 · 𝑛)))
138135, 137eqtr3d 2855 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝐴 · (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))) = ((abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))) · (𝐴 · 𝑛)))
139131, 132, 1383brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ≤ (𝐴 · (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))))
1405, 76, 80, 139fsumle 15142 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐴 · (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))))
14141adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14235recnd 10657 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ)
1435, 141, 142fsummulc2 15127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝐴 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))) = Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝐴 · (𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))))
144140, 143breqtrrd 5085 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ≤ (𝐴 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))))
14573, 77, 74, 78, 144letrd 10785 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) ≤ (𝐴 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))))
14673, 74, 38, 145lediv1dd 12477 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) ≤ ((𝐴 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))
14738rpcnd 12421 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℂ)
14838rpne0d 12424 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ≠ 0)
14972, 147, 148absdivd 14803 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) = ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (abs‘(𝑥 · (log‘𝑥)))))
15038rpred 12419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 · (log‘𝑥)) ∈ ℝ)
15138rpge0d 12423 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ (𝑥 · (log‘𝑥)))
152150, 151absidd 14770 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(𝑥 · (log‘𝑥))) = (𝑥 · (log‘𝑥)))
153152oveq2d 7161 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (abs‘(𝑥 · (log‘𝑥)))) = ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))
154149, 153eqtr2d 2854 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
15536recnd 10657 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) ∈ ℂ)
156141, 155, 147, 148divassd 11439 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝐴 · Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛)))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))) = (𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
157146, 154, 1563brtr3d 5088 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ≤ (𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))))
15852leabsd 14762 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ≤ (abs‘(𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))))
15969, 52, 71, 157, 158letrd 10785 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ≤ (abs‘(𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))))
160159adantrr 713 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (abs‘(Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ≤ (abs‘(𝐴 · (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(𝑛 · (abs‘((𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))) − (𝑅‘(𝑥 / 𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥))))))
1611, 51, 52, 68, 160o1le 14997 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1(,)+∞) ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(((abs‘(𝑅‘(𝑥 / 𝑛))) − (abs‘(𝑅‘(𝑥 / (𝑛 + 1))))) · ((𝑆𝑛) − (2 · (𝑛 · (log‘𝑛))))) / (𝑥 · (log‘𝑥)))) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  wss 3933   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  +crp 12377  (,)cioo 12726  [,)cico 12728  ...cfz 12880  cfl 13148  abscabs 14581  𝑂(1)co1 14831  Σcsu 15030  logclog 25065  Λcvma 25596  ψcchp 25597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-o1 14835  df-lo1 14836  df-sum 15031  df-ef 15409  df-e 15410  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-pc 16162  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-em 25497  df-cht 25601  df-vma 25602  df-chp 25603  df-ppi 25604
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem4  26083
  Copyright terms: Public domain W3C validator