MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrlog2bndlem6a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrlog2bndlem6a 26085
Description: Lemma for pntrlog2bndlem6 26086. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntsval.1 𝑆 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ Σ𝑖 ∈ (1...(⌊‘𝑎))((Λ‘𝑖) · ((log‘𝑖) + (ψ‘(𝑎 / 𝑖)))))
pntrlog2bnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntrlog2bnd.t 𝑇 = (𝑎 ∈ ℝ ↦ if(𝑎 ∈ ℝ+, (𝑎 · (log‘𝑎)), 0))
pntrlog2bndlem5.1 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntrlog2bndlem5.2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑦) / 𝑦)) ≤ 𝐵)
pntrlog2bndlem6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
pntrlog2bndlem6.2 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
pntrlog2bndlem6a ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑖,𝑎)   𝐵(𝑖,𝑎)   𝑅(𝑖,𝑎)   𝑆(𝑖,𝑎)   𝑇(𝑥,𝑦,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntrlog2bndlem6a
StepHypRef Expression
1 elioore 12756 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ)
21adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ)
3 1rp 12381 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ+)
54rpred 12419 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ∈ ℝ)
6 eliooord 12784 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1(,)+∞) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
76adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1 < 𝑥𝑥 < +∞))
87simpld 495 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 < 𝑥)
95, 2, 8ltled 10776 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝑥)
102, 4, 9rpgecld 12458 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
11 pntrlog2bndlem6.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
13 pntrlog2bndlem6.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ≤ 𝐴)
1411, 12, 13rpgecld 12458 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝐴 ∈ ℝ+)
1610, 15rpdivcld 12436 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ+)
1716rprege0d 12426 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)))
18 flge0nn0 13178 . . . 4 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑥 / 𝐴)) → (⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 11924 . . . 4 ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
2017, 18, 193syl 18 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ ℕ)
21 nnuz 12269 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2220, 21eleqtrdi 2920 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → ((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1))
2316rpred 12419 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ)
2410rpge0d 12423 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 0 ≤ 𝑥)
2513adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 1 ≤ 𝐴)
264, 15, 2, 24, 25lediv2ad 12441 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ (𝑥 / 1))
272recnd 10657 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℂ)
2827div1d 11396 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 1) = 𝑥)
2926, 28breqtrd 5083 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥)
30 flword2 13171 . . 3 (((𝑥 / 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 / 𝐴) ≤ 𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
3123, 2, 29, 30syl3anc 1363 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴))))
32 fzsplit2 12920 . 2 ((((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘(𝑥 / 𝐴)))) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
3322, 31, 32syl2anc 584 1 ((𝜑𝑥 ∈ (1(,)+∞)) → (1...(⌊‘𝑥)) = ((1...(⌊‘(𝑥 / 𝐴))) ∪ (((⌊‘(𝑥 / 𝐴)) + 1)...(⌊‘𝑥))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cun 3931  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cfv 6348  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cuz 12231  +crp 12377  (,)cioo 12726  ...cfz 12880  cfl 13148  abscabs 14581  Σcsu 15030  logclog 25065  Λcvma 25596  ψcchp 25597
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-fz 12881  df-fl 13150
This theorem is referenced by:  pntrlog2bndlem6  26086
  Copyright terms: Public domain W3C validator