MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrsumbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrsumbnd 25236
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd 𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑚,𝑎,𝑛   𝑚,𝑐,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3616 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
3 1red 10040 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4 fzfid 12755 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (1...(⌊‘𝑚)) ∈ Fin)
5 elfznn 12355 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
65adantl 482 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → 𝑛 ∈ ℕ)
7 nnrp 11827 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
8 pntrval.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
98pntrf 25233 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
109ffvelrni 6344 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
12 peano2nn 11017 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
13 nnmulcl 11028 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
1412, 13mpdan 701 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
1511, 14nndivred 11054 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
1615recnd 10053 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
176, 16syl 17 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
184, 17fsumcl 14445 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
198pntrsumo1 25235 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑚 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
21 fzfid 12755 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
22 elfznn 12355 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2322adantl 482 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2423, 16syl 17 . . . . . 6 (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
2524abscld 14156 . . . . 5 (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2621, 25fsumrecl 14446 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2718adantr 481 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
2827abscld 14156 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
29 fzfid 12755 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑚)) ∈ Fin)
3017adantlr 750 . . . . . . 7 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
3130abscld 14156 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3229, 31fsumrecl 14446 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3326ad2ant2r 782 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3429, 30fsumabs 14514 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
35 fzfid 12755 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
3622adantl 482 . . . . . . . 8 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3736, 16syl 17 . . . . . . 7 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
3837abscld 14156 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3937absge0d 14164 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
40 simplr 791 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ)
41 simprll 801 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 simprr 795 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚 < 𝑥)
4340, 41, 42ltled 10170 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚𝑥)
44 flword2 12597 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1324 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)))
46 fzss2 12366 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)) → (1...(⌊‘𝑚)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑚)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
4835, 38, 39, 47fsumless 14509 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
4928, 32, 33, 34, 48letrd 10179 . . . 4 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
502, 3, 18, 20, 26, 49o1bddrp 14254 . . 3 (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
5150trud 1491 . 2 𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
52 zre 11366 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
5352imim1i 63 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℝ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐) → (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
54 flid 12592 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
5554oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → (1...(⌊‘𝑚)) = (1...𝑚))
5655sumeq1d 14412 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5756fveq2d 6182 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
5857breq1d 4654 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
5953, 58mpbidi 231 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℝ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐) → (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
6059ralimi2 2946 . . 3 (∀𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
6160reximi 3008 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
6251, 61ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wtru 1482  wcel 1988  wral 2909  wrex 2910  wss 3567   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251   / cdiv 10669  cn 11005  cz 11362  cuz 11672  +crp 11817  ...cfz 12311  cfl 12574  abscabs 13955  𝑂(1)co1 14198  Σcsu 14397  ψcchp 24800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000  ax-mulf 10001
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-iin 4514  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-supp 7281  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-ixp 7894  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-fsupp 8261  df-fi 8302  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-5 11067  df-6 11068  df-7 11069  df-8 11070  df-9 11071  df-n0 11278  df-xnn0 11349  df-z 11363  df-dec 11479  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xneg 11931  df-xadd 11932  df-xmul 11933  df-ioo 12164  df-ioc 12165  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-fac 13044  df-bc 13073  df-hash 13101  df-shft 13788  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-limsup 14183  df-clim 14200  df-rlim 14201  df-o1 14202  df-lo1 14203  df-sum 14398  df-ef 14779  df-e 14780  df-sin 14781  df-cos 14782  df-pi 14784  df-dvds 14965  df-gcd 15198  df-prm 15367  df-pc 15523  df-struct 15840  df-ndx 15841  df-slot 15842  df-base 15844  df-sets 15845  df-ress 15846  df-plusg 15935  df-mulr 15936  df-starv 15937  df-sca 15938  df-vsca 15939  df-ip 15940  df-tset 15941  df-ple 15942  df-ds 15945  df-unif 15946  df-hom 15947  df-cco 15948  df-rest 16064  df-topn 16065  df-0g 16083  df-gsum 16084  df-topgen 16085  df-pt 16086  df-prds 16089  df-xrs 16143  df-qtop 16148  df-imas 16149  df-xps 16151  df-mre 16227  df-mrc 16228  df-acs 16230  df-mgm 17223  df-sgrp 17265  df-mnd 17276  df-submnd 17317  df-mulg 17522  df-cntz 17731  df-cmn 18176  df-psmet 19719  df-xmet 19720  df-met 19721  df-bl 19722  df-mopn 19723  df-fbas 19724  df-fg 19725  df-cnfld 19728  df-top 20680  df-topon 20697  df-topsp 20718  df-bases 20731  df-cld 20804  df-ntr 20805  df-cls 20806  df-nei 20883  df-lp 20921  df-perf 20922  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-haus 21100  df-cmp 21171  df-tx 21346  df-hmeo 21539  df-fil 21631  df-fm 21723  df-flim 21724  df-flf 21725  df-xms 22106  df-ms 22107  df-tms 22108  df-cncf 22662  df-limc 23611  df-dv 23612  df-log 24284  df-cxp 24285  df-em 24700  df-cht 24804  df-vma 24805  df-chp 24806  df-ppi 24807
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  25237
  Copyright terms: Public domain W3C validator