MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntrsumbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntrsumbnd 24967
Description: A bound on a sum over 𝑅. Equation 10.1.16 of [Shapiro], p. 403. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pntrval.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
Assertion
Ref Expression
pntrsumbnd 𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Distinct variable groups:   𝑚,𝑎,𝑛   𝑚,𝑐,𝑛,𝑅
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑎)

Proof of Theorem pntrsumbnd
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3581 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ⊆ ℝ)
3 1red 9906 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4 fzfid 12584 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (1...(⌊‘𝑚)) ∈ Fin)
5 elfznn 12191 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚)) → 𝑛 ∈ ℕ)
65adantl 480 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → 𝑛 ∈ ℕ)
7 nnrp 11669 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
8 pntrval.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
98pntrf 24964 . . . . . . . . . 10 𝑅:ℝ+⟶ℝ
109ffvelrni 6246 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℝ+ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
117, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑅𝑛) ∈ ℝ)
12 peano2nn 10874 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
13 nnmulcl 10885 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑛 + 1) ∈ ℕ) → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
1412, 13mpdan 698 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · (𝑛 + 1)) ∈ ℕ)
1511, 14nndivred 10911 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
1615recnd 9919 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
176, 16syl 17 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
184, 17fsumcl 14252 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
198pntrsumo1 24966 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1)
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → (𝑚 ∈ ℝ ↦ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ 𝑂(1))
21 fzfid 12584 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
22 elfznn 12191 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥)) → 𝑛 ∈ ℕ)
2322adantl 480 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
2423, 16syl 17 . . . . . 6 (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
2524abscld 13964 . . . . 5 (((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2621, 25fsumrecl 14253 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
2718adantr 479 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
2827abscld 13964 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
29 fzfid 12584 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑚)) ∈ Fin)
3017adantlr 746 . . . . . . 7 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
3130abscld 13964 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3229, 31fsumrecl 14253 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3326ad2ant2r 778 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3429, 30fsumabs 14315 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
35 fzfid 12584 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
3622adantl 480 . . . . . . . 8 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3736, 16syl 17 . . . . . . 7 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → ((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) ∈ ℂ)
3837abscld 13964 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ∈ ℝ)
3937absge0d 13972 . . . . . 6 ((((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) ∧ 𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))) → 0 ≤ (abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
40 simplr 787 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚 ∈ ℝ)
41 simprll 797 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
42 simprr 791 . . . . . . . . 9 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚 < 𝑥)
4340, 41, 42ltled 10031 . . . . . . . 8 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → 𝑚𝑥)
44 flword2 12426 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑚𝑥) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)))
4540, 41, 43, 44syl3anc 1317 . . . . . . 7 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)))
46 fzss2 12202 . . . . . . 7 ((⌊‘𝑥) ∈ (ℤ‘(⌊‘𝑚)) → (1...(⌊‘𝑚)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
4745, 46syl 17 . . . . . 6 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (1...(⌊‘𝑚)) ⊆ (1...(⌊‘𝑥)))
4835, 38, 39, 47fsumless 14310 . . . . 5 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
4928, 32, 33, 34, 48letrd 10040 . . . 4 (((⊤ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 𝑥) ∧ 𝑚 < 𝑥)) → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(abs‘((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
502, 3, 18, 20, 26, 49o1bddrp 14062 . . 3 (⊤ → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
5150trud 1483 . 2 𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
52 zre 11209 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ ℝ)
5352imim1i 60 . . . . 5 ((𝑚 ∈ ℝ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐) → (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
54 flid 12421 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → (⌊‘𝑚) = 𝑚)
5554oveq2d 6538 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℤ → (1...(⌊‘𝑚)) = (1...𝑚))
5655sumeq1d 14220 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℤ → Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1))))
5756fveq2d 6087 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) = (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))))
5857breq1d 4582 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℤ → ((abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 ↔ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
5953, 58mpbidi 229 . . . 4 ((𝑚 ∈ ℝ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐) → (𝑚 ∈ ℤ → (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐))
6059ralimi2 2927 . . 3 (∀𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 → ∀𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
6160reximi 2988 . 2 (∃𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℝ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑚))((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐 → ∃𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐)
6251, 61ax-mp 5 1 𝑐 ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ (abs‘Σ𝑛 ∈ (1...𝑚)((𝑅𝑛) / (𝑛 · (𝑛 + 1)))) ≤ 𝑐
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1975  wral 2890  wrex 2891  wss 3534   class class class wbr 4572  cmpt 4632  cfv 5785  (class class class)co 6522  cc 9785  cr 9786  1c1 9788   + caddc 9790   · cmul 9792   < clt 9925  cle 9926  cmin 10112   / cdiv 10528  cn 10862  cz 11205  cuz 11514  +crp 11659  ...cfz 12147  cfl 12403  abscabs 13763  𝑂(1)co1 14006  Σcsu 14205  ψcchp 24531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-rep 4688  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-inf2 8393  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-addf 9866  ax-mulf 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-int 4400  df-iun 4446  df-iin 4447  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-se 4983  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-isom 5794  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-of 6767  df-om 6930  df-1st 7031  df-2nd 7032  df-supp 7155  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-1o 7419  df-2o 7420  df-oadd 7423  df-er 7601  df-map 7718  df-pm 7719  df-ixp 7767  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-fin 7817  df-fsupp 8131  df-fi 8172  df-sup 8203  df-inf 8204  df-oi 8270  df-card 8620  df-cda 8845  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-5 10924  df-6 10925  df-7 10926  df-8 10927  df-9 10928  df-n0 11135  df-z 11206  df-dec 11321  df-uz 11515  df-q 11616  df-rp 11660  df-xneg 11773  df-xadd 11774  df-xmul 11775  df-ioo 12001  df-ioc 12002  df-ico 12003  df-icc 12004  df-fz 12148  df-fzo 12285  df-fl 12405  df-mod 12481  df-seq 12614  df-exp 12673  df-fac 12873  df-bc 12902  df-hash 12930  df-shft 13596  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-limsup 13991  df-clim 14008  df-rlim 14009  df-o1 14010  df-lo1 14011  df-sum 14206  df-ef 14578  df-e 14579  df-sin 14580  df-cos 14581  df-pi 14583  df-dvds 14763  df-gcd 14996  df-prm 15165  df-pc 15321  df-struct 15638  df-ndx 15639  df-slot 15640  df-base 15641  df-sets 15642  df-ress 15643  df-plusg 15722  df-mulr 15723  df-starv 15724  df-sca 15725  df-vsca 15726  df-ip 15727  df-tset 15728  df-ple 15729  df-ds 15732  df-unif 15733  df-hom 15734  df-cco 15735  df-rest 15847  df-topn 15848  df-0g 15866  df-gsum 15867  df-topgen 15868  df-pt 15869  df-prds 15872  df-xrs 15926  df-qtop 15931  df-imas 15932  df-xps 15934  df-mre 16010  df-mrc 16011  df-acs 16013  df-mgm 17006  df-sgrp 17048  df-mnd 17059  df-submnd 17100  df-mulg 17305  df-cntz 17514  df-cmn 17959  df-psmet 19500  df-xmet 19501  df-met 19502  df-bl 19503  df-mopn 19504  df-fbas 19505  df-fg 19506  df-cnfld 19509  df-top 20458  df-bases 20459  df-topon 20460  df-topsp 20461  df-cld 20570  df-ntr 20571  df-cls 20572  df-nei 20649  df-lp 20687  df-perf 20688  df-cn 20778  df-cnp 20779  df-haus 20866  df-cmp 20937  df-tx 21112  df-hmeo 21305  df-fil 21397  df-fm 21489  df-flim 21490  df-flf 21491  df-xms 21871  df-ms 21872  df-tms 21873  df-cncf 22415  df-limc 23348  df-dv 23349  df-log 24019  df-cxp 24020  df-em 24431  df-cht 24535  df-vma 24536  df-chp 24537  df-ppi 24538
This theorem is referenced by:  pntrsumbnd2  24968
  Copyright terms: Public domain W3C validator