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Theorem pockthg 15394
Description: The generalized Pocklington's theorem. If 𝑁 − 1 = 𝐴 · 𝐵 where 𝐵 < 𝐴, then 𝑁 is prime if and only if for every prime factor 𝑝 of 𝐴, there is an 𝑥 such that 𝑥↑(𝑁 − 1) = 1( mod 𝑁) and gcd (𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝) − 1, 𝑁) = 1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3 (𝜑𝐵 < 𝐴)
pockthg.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthg.5 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
Assertion
Ref Expression
pockthg (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑁   𝐴,𝑝,𝑥   𝜑,𝑝,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem pockthg
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthg.4 . . 3 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
2 pockthg.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3 pockthg.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
42, 3nnmulcld 10915 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
5 nnuz 11555 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5syl6eleq 2697 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1))
7 eluzp1p1 11545 . . . . 5 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
9 df-2 10926 . . . . 5 2 = (1 + 1)
109fveq2i 6091 . . . 4 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
118, 10syl6eleqr 2698 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘2))
121, 11eqeltrd 2687 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
13 eluzelre 11530 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
162nnred 10882 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1716resqcld 12852 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴↑2) ∈ ℝ)
19 prmnn 15172 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
2019ad2antrl 759 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ)
2120nnred 10882 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℝ)
2221resqcld 12852 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞↑2) ∈ ℝ)
23 pockthg.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 < 𝐴)
243nnred 10882 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
252nngt0d 10911 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
26 ltmul2 10723 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
2724, 16, 16, 25, 26syl112anc 1321 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴)))
2823, 27mpbid 220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴))
292, 2nnmulcld 10915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ)
30 nnltp1le 11266 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ ∧ (𝐴 · 𝐴) ∈ ℕ) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
314, 29, 30syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 𝐴) ↔ ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴)))
3228, 31mpbid 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ≤ (𝐴 · 𝐴))
332nncnd 10883 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3433sqvald 12822 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3532, 1, 343brtr4d 4609 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ≤ (𝐴↑2))
3635adantr 479 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 ≤ (𝐴↑2))
37 pockthg.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
3837adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
39 prmnn 15172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
4039ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℕ)
4140nncnd 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℂ)
4241exp1d 12820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) = 𝑝)
43 nnge1 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
4443ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴))
45 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝 ∈ ℙ)
462nnzd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
4746ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
48 1nn0 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℕ0
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℕ0)
50 pcdvdsb 15357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
5145, 47, 49, 50syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (1 ≤ (𝑝 pCnt 𝐴) ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
5244, 51mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
5342, 52eqbrtrrd 4601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → 𝑝𝐴)
54 simpl1 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝜑)
5554, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐴 ∈ ℕ)
5654, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 ∈ ℕ)
5754, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝐵 < 𝐴)
5854, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
59 simpl2l 1106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞 ∈ ℙ)
60 simpl2r 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑞𝑁)
61 simpl3l 1108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
62 simpl3r 1109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
63 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → 𝑥 ∈ ℤ)
64 simprrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → ((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
65 simprrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
6655, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65pockthlem 15393 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1))) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
6766rexlimdvaa 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
68673expa 1256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → (∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
6953, 68embantd 56 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)) → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
7069expr 640 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℙ)
72 prmuz2 15192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ (ℤ‘2))
73 uz2m1nn 11595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑞 ∈ (ℤ‘2) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℙ → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
7574ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℕ)
76 pccl 15338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ0)
7771, 75, 76syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ∈ ℕ0)
7877nn0ge0d 11201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
79 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)) ↔ 0 ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8078, 79syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8180a1dd 47 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) = 0 → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))))
82 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
832ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℕ)
8482, 83pccld 15339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
85 elnn0 11141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
8684, 85sylib 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 pCnt 𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑝 pCnt 𝐴) = 0))
8770, 81, 86mpjaod 394 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8887ralimdva 2944 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐴 → ∃𝑥 ∈ ℤ (((𝑥↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑥↑((𝑁 − 1) / 𝑝)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
8938, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1)))
9046adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∈ ℤ)
9175nnzd 11313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑞 − 1) ∈ ℤ)
92 pc2dvds 15367 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℤ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
9390, 91, 92syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 pCnt 𝐴) ≤ (𝑝 pCnt (𝑞 − 1))))
9489, 93mpbird 245 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∥ (𝑞 − 1))
95 dvdsle 14816 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝑞 − 1) ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
9690, 75, 95syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 ∥ (𝑞 − 1) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
9794, 96mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ≤ (𝑞 − 1))
982nnnn0d 11198 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
9998adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10020nnnn0d 11198 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑞 ∈ ℕ0)
101 nn0ltlem1 11270 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑞 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝑞𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
10299, 100, 101syl2anc 690 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 < 𝑞𝐴 ≤ (𝑞 − 1)))
10397, 102mpbird 245 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 < 𝑞)
10416adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝐴 ∈ ℝ)
10598nn0ge0d 11201 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
106105adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 0 ≤ 𝐴)
107100nn0ge0d 11201 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 0 ≤ 𝑞)
108104, 21, 106, 107lt2sqd 12860 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴 < 𝑞 ↔ (𝐴↑2) < (𝑞↑2)))
109103, 108mpbid 220 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝐴↑2) < (𝑞↑2))
11015, 18, 22, 36, 109lelttrd 10046 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → 𝑁 < (𝑞↑2))
11115, 22ltnled 10035 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → (𝑁 < (𝑞↑2) ↔ ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
112110, 111mpbid 220 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞𝑁)) → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁)
113112expr 640 . . . 4 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞𝑁 → ¬ (𝑞↑2) ≤ 𝑁))
114113con2d 127 . . 3 ((𝜑𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁))
115114ralrimiva 2948 . 2 (𝜑 → ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁))
116 isprm5 15203 . 2 (𝑁 ∈ ℙ ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ ∀𝑞 ∈ ℙ ((𝑞↑2) ≤ 𝑁 → ¬ 𝑞𝑁)))
11712, 115, 116sylanbrc 694 1 (𝜑𝑁 ∈ ℙ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519   mod cmo 12485  cexp 12677  cdvds 14767   gcd cgcd 15000  cprime 15169   pCnt cpc 15325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-dvds 14768  df-gcd 15001  df-prm 15170  df-odz 15254  df-phi 15255  df-pc 15326
This theorem is referenced by:  pockthi  15395  proththd  39867
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