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Theorem pockthi 15554
Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 15553 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
pockthi.gt 𝐷 < (𝑃𝐸)
pockthi.mod ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
Assertion
Ref Expression
pockthi 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2 𝐷 ∈ ℕ
2 pockthi.p . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
3 prmnn 15331 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
5 pockthi.e . . . . . 6 𝐸 ∈ ℕ
65nnnn0i 11260 . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
7 nnexpcl 12829 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 707 . . . 4 (𝑃𝐸) ∈ ℕ
98a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
10 id 22 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11 pockthi.gt . . . 4 𝐷 < (𝑃𝐸)
1211a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃𝐸))
13 pockthi.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
14 pockthi.fac . . . . . . 7 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
151nncni 10990 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
168nncni 10990 . . . . . . . 8 (𝑃𝐸) ∈ ℂ
1715, 16mulcomi 10006 . . . . . . 7 (𝐷 · (𝑃𝐸)) = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1814, 17eqtri 2643 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1918oveq1i 6625 . . . . 5 (𝑀 + 1) = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2013, 19eqtri 2643 . . . 4 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2120a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1))
22 prmdvdsexpb 15371 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
232, 5, 22mp3an23 1413 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
2413eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 + 1) = 𝑁
25 pockthi.m . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
26 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐺 ∈ ℕ
2726, 4nnmulcli 11004 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
2825, 27eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑀 ∈ ℕ
29 peano2nn 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 + 1) ∈ ℕ
3113, 30eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 ∈ ℕ
3231nncni 10990 . . . . . . . . . . . 12 𝑁 ∈ ℂ
33 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
3428nncni 10990 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℂ
3532, 33, 34subadd2i 10329 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 − 1) = 𝑀 ↔ (𝑀 + 1) = 𝑁)
3624, 35mpbir 221 . . . . . . . . . 10 (𝑁 − 1) = 𝑀
3736oveq2i 6626 . . . . . . . . 9 (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴𝑀)
3837oveq1i 6625 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴𝑀) mod 𝑁)
39 pockthi.mod . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
4031nnrei 10989 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
4128nngt0i 11014 . . . . . . . . . . . 12 0 < 𝑀
4228nnrei 10989 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℝ
43 1re 9999 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
44 ltaddpos2 10479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
4542, 43, 44mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
4641, 45mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 1 < (𝑀 + 1)
4746, 13breqtrri 4650 . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
48 1mod 12658 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
4940, 47, 48mp2an 707 . . . . . . . . 9 (1 mod 𝑁) = 1
5039, 49eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = 1
5138, 50eqtri 2643 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
52 oveq2 6623 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
5326nncni 10990 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 ∈ ℂ
544nncni 10990 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 ∈ ℂ
5553, 54mulcomi 10006 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
5636, 25, 553eqtrri 2648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
5732, 33subcli 10317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
584nnne0i 11015 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 ≠ 0
5957, 54, 53, 58divmuli 10739 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
6056, 59mpbir 221 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
6152, 60syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
6261oveq2d 6631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴𝐺))
6362oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴𝐺) − 1))
6463oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁))
65 pockthi.gcd . . . . . . . 8 (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
6664, 65syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
67 pockthi.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ
6867nnzi 11361 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℤ
69 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
7069oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
7170eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
72 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
7372oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
7473oveq1d 6630 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
7574eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7671, 75anbi12d 746 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
7776rspcev 3299 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7868, 77mpan 705 . . . . . . 7 ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7951, 66, 78sylancr 694 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8023, 79syl6bi 243 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
8180rgen 2918 . . . 4 𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8281a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
839, 10, 12, 21, 82pockthg 15553 . 2 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
841, 83ax-mp 5 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cmin 10226   / cdiv 10644  cn 10980  0cn0 11252  cz 11337   mod cmo 12624  cexp 12816  cdvds 14926   gcd cgcd 15159  cprime 15328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-odz 15413  df-phi 15414  df-pc 15485
This theorem is referenced by:  1259prm  15786  2503prm  15790  4001prm  15795
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