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Theorem pockthi 16231
Description: Pocklington's theorem, which gives a sufficient criterion for a number 𝑁 to be prime. This is the preferred method for verifying large primes, being much more efficient to compute than trial division. This form has been optimized for application to specific large primes; see pockthg 16230 for a more general closed-form version. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthi.p 𝑃 ∈ ℙ
pockthi.g 𝐺 ∈ ℕ
pockthi.m 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
pockthi.n 𝑁 = (𝑀 + 1)
pockthi.d 𝐷 ∈ ℕ
pockthi.e 𝐸 ∈ ℕ
pockthi.a 𝐴 ∈ ℕ
pockthi.fac 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
pockthi.gt 𝐷 < (𝑃𝐸)
pockthi.mod ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
pockthi.gcd (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
Assertion
Ref Expression
pockthi 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem pockthi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pockthi.d . 2 𝐷 ∈ ℕ
2 pockthi.p . . . . . 6 𝑃 ∈ ℙ
3 prmnn 16006 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 𝑃 ∈ ℕ
5 pockthi.e . . . . . 6 𝐸 ∈ ℕ
65nnnn0i 11893 . . . . 5 𝐸 ∈ ℕ0
7 nnexpcl 13430 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐸 ∈ ℕ0) → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
84, 6, 7mp2an 688 . . . 4 (𝑃𝐸) ∈ ℕ
98a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → (𝑃𝐸) ∈ ℕ)
10 id 22 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℕ)
11 pockthi.gt . . . 4 𝐷 < (𝑃𝐸)
1211a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 < (𝑃𝐸))
13 pockthi.n . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
14 pockthi.fac . . . . . . 7 𝑀 = (𝐷 · (𝑃𝐸))
151nncni 11636 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
168nncni 11636 . . . . . . . 8 (𝑃𝐸) ∈ ℂ
1715, 16mulcomi 10637 . . . . . . 7 (𝐷 · (𝑃𝐸)) = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1814, 17eqtri 2841 . . . . . 6 𝑀 = ((𝑃𝐸) · 𝐷)
1918oveq1i 7155 . . . . 5 (𝑀 + 1) = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2013, 19eqtri 2841 . . . 4 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1)
2120a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 = (((𝑃𝐸) · 𝐷) + 1))
22 prmdvdsexpb 16048 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐸 ∈ ℕ) → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
232, 5, 22mp3an23 1444 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) ↔ 𝑥 = 𝑃))
24 pockthi.m . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 = (𝐺 · 𝑃)
25 pockthi.g . . . . . . . . . . . . . 14 𝐺 ∈ ℕ
2625, 4nnmulcli 11650 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 · 𝑃) ∈ ℕ
2724, 26eqeltri 2906 . . . . . . . . . . . 12 𝑀 ∈ ℕ
2827nncni 11636 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ ℂ
29 ax-1cn 10583 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3028, 29, 13mvrraddi 10891 . . . . . . . . . 10 (𝑁 − 1) = 𝑀
3130oveq2i 7156 . . . . . . . . 9 (𝐴↑(𝑁 − 1)) = (𝐴𝑀)
3231oveq1i 7155 . . . . . . . 8 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴𝑀) mod 𝑁)
33 pockthi.mod . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
34 peano2nn 11638 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
3527, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 + 1) ∈ ℕ
3613, 35eqeltri 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑁 ∈ ℕ
3736nnrei 11635 . . . . . . . . . 10 𝑁 ∈ ℝ
3827nngt0i 11664 . . . . . . . . . . . 12 0 < 𝑀
3927nnrei 11635 . . . . . . . . . . . . 13 𝑀 ∈ ℝ
40 1re 10629 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
41 ltaddpos2 11119 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1)))
4239, 40, 41mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (0 < 𝑀 ↔ 1 < (𝑀 + 1))
4338, 42mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 1 < (𝑀 + 1)
4443, 13breqtrri 5084 . . . . . . . . . 10 1 < 𝑁
45 1mod 13259 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
4637, 44, 45mp2an 688 . . . . . . . . 9 (1 mod 𝑁) = 1
4733, 46eqtri 2841 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑀) mod 𝑁) = 1
4832, 47eqtri 2841 . . . . . . 7 ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1
49 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = ((𝑁 − 1) / 𝑃))
5025nncni 11636 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐺 ∈ ℂ
514nncni 11636 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑃 ∈ ℂ
5250, 51mulcomi 10637 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐺)
5330, 24, 523eqtrri 2846 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1)
5436nncni 11636 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 ∈ ℂ
5554, 29subcli 10950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 − 1) ∈ ℂ
564nnne0i 11665 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 ≠ 0
5755, 51, 50, 56divmuli 11382 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺 ↔ (𝑃 · 𝐺) = (𝑁 − 1))
5853, 57mpbir 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 − 1) / 𝑃) = 𝐺
5949, 58syl6eq 2869 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑁 − 1) / 𝑥) = 𝐺)
6059oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑃 → (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴𝐺))
6160oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑃 → ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴𝐺) − 1))
6261oveq1d 7160 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁))
63 pockthi.gcd . . . . . . . 8 (((𝐴𝐺) − 1) gcd 𝑁) = 1
6462, 63syl6eq 2869 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑃 → (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
65 pockthi.a . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ
6665nnzi 11994 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℤ
67 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑(𝑁 − 1)) = (𝐴↑(𝑁 − 1)))
6867oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁))
6968eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1))
70 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) = (𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)))
7170oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) = ((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1))
7271oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 → (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁))
7372eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1 ↔ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7469, 73anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → ((((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) ↔ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
7574rspcev 3620 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7666, 75mpan 686 . . . . . . 7 ((((𝐴↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝐴↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7748, 64, 76sylancr 587 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑃 → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
7823, 77syl6bi 254 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
7978rgen 3145 . . . 4 𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1))
8079a1i 11 . . 3 (𝐷 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ ℙ (𝑥 ∥ (𝑃𝐸) → ∃𝑦 ∈ ℤ (((𝑦↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1 ∧ (((𝑦↑((𝑁 − 1) / 𝑥)) − 1) gcd 𝑁) = 1)))
819, 10, 12, 21, 80pockthg 16230 . 2 (𝐷 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℙ)
821, 81ax-mp 5 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  cz 11969   mod cmo 13225  cexp 13417  cdvds 15595   gcd cgcd 15831  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-gcd 15832  df-prm 16004  df-odz 16090  df-phi 16091  df-pc 16162
This theorem is referenced by:  1259prm  16457  2503prm  16461  4001prm  16466
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