Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pol1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pol1N 33997
Description: The polarity of the whole projective subspace is the empty space. Remark in [Holland95] p. 223. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polssat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polssat.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pol1N (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ∅)

Proof of Theorem pol1N
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3586 . . 3 𝐴𝐴
2 eqid 2609 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 eqid 2609 . . . 4 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
4 polssat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 eqid 2609 . . . 4 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
6 polssat.p . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
72, 3, 4, 5, 6polval2N 33993 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐴𝐴) → ( 𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
81, 7mpan2 702 . 2 (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))))
9 hlop 33450 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
10 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 4atbase 33377 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
12 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 eqid 2609 . . . . . . . . . . 11 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
1410, 12, 13ople1 33279 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
159, 11, 14syl2an 492 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
1615ralrimiva 2948 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → ∀𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
17 rabid2 3095 . . . . . . . 8 (𝐴 = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)} ↔ ∀𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾))
1816, 17sylibr 222 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐴 = {𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)})
1918fveq2d 6091 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘𝐴) = ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}))
20 hlomcmat 33452 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat))
2110, 13op1cl 33273 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
229, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
2310, 12, 2, 4atlatmstc 33407 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ OML ∧ 𝐾 ∈ CLat ∧ 𝐾 ∈ AtLat) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
2420, 22, 23syl2anc 690 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → ((lub‘𝐾)‘{𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(1.‘𝐾)}) = (1.‘𝐾))
2519, 24eqtr2d 2644 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → (1.‘𝐾) = ((lub‘𝐾)‘𝐴))
2625fveq2d 6091 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)))
27 eqid 2609 . . . . . 6 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
2827, 13, 3opoc1 33290 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
299, 28syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘(1.‘𝐾)) = (0.‘𝐾))
3026, 29eqtr3d 2645 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴)) = (0.‘𝐾))
3130fveq2d 6091 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝐴))) = ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)))
32 hlatl 33448 . . 3 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3327, 5pmap0 33852 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
3432, 33syl 17 . 2 (𝐾 ∈ HL → ((pmap‘𝐾)‘(0.‘𝐾)) = ∅)
358, 31, 343eqtrd 2647 1 (𝐾 ∈ HL → ( 𝐴) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2895  {crab 2899  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5789  Basecbs 15643  lecple 15723  occoc 15724  lubclub 16713  0.cp0 16808  1.cp1 16809  CLatccla 16878  OPcops 33260  OMLcoml 33263  Atomscatm 33351  AtLatcal 33352  HLchlt 33438  pmapcpmap 33584  𝑃cpolN 33989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33040
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4942  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-undef 7263  df-preset 16699  df-poset 16717  df-plt 16729  df-lub 16745  df-glb 16746  df-join 16747  df-meet 16748  df-p0 16810  df-p1 16811  df-lat 16817  df-clat 16879  df-oposet 33264  df-ol 33266  df-oml 33267  df-covers 33354  df-ats 33355  df-atl 33386  df-cvlat 33410  df-hlat 33439  df-pmap 33591  df-polarityN 33990
This theorem is referenced by:  2pol0N  33998  1psubclN  34031
  Copyright terms: Public domain W3C validator