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Theorem polid 27202
Description: Polarization identity. Recovers inner product from norm. Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. The outermost operation is + instead of - due to our mathematicians' (rather than physicists') version of axiom ax-his3 27127. (Contributed by NM, 17-Nov-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
polid ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))

Proof of Theorem polid
StepHypRef Expression
1 oveq1 6530 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
2 oveq1 6530 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))
32fveq2d 6088 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
43oveq1d 6538 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2))
5 oveq1 6530 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
65fveq2d 6088 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
76oveq1d 6538 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2))
84, 7oveq12d 6541 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)))
9 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))
109fveq2d 6088 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))))
1110oveq1d 6538 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2))
12 oveq1 6530 . . . . . . . . 9 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))
1312fveq2d 6088 . . . . . . . 8 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))))
1413oveq1d 6538 . . . . . . 7 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))
1511, 14oveq12d 6541 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))
1615oveq2d 6539 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))))
178, 16oveq12d 6541 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))))
1817oveq1d 6538 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
191, 18eqeq12d 2620 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4)))
20 oveq2 6531 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
21 oveq2 6531 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2221fveq2d 6088 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2322oveq1d 6538 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
24 oveq2 6531 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2524fveq2d 6088 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
2625oveq1d 6538 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
2723, 26oveq12d 6541 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)))
28 oveq2 6531 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · 𝐵) = (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2928oveq2d 6539 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
3029fveq2d 6088 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3130oveq1d 6538 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))
3228oveq2d 6539 . . . . . . . . 9 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
3332fveq2d 6088 . . . . . . . 8 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵))) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))))
3433oveq1d 6538 . . . . . . 7 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))
3531, 34oveq12d 6541 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))
3635oveq2d 6539 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2))) = (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2))))
3727, 36oveq12d 6541 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) = ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))))
3837oveq1d 6538 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4))
3920, 38eqeq12d 2620 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · 𝐵)))↑2)))) / 4) ↔ (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4)))
40 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
41 ifhvhv0 27065 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
4240, 41polidi 27201 . 2 (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) = (((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) + (i · (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2) − ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − (i · if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))↑2)))) / 4)
4319, 39, 42dedth2h 4085 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) − ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) + (i · (((norm‘(𝐴 + (i · 𝐵)))↑2) − ((norm‘(𝐴 (i · 𝐵)))↑2)))) / 4))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  ifcif 4031  cfv 5786  (class class class)co 6523  ici 9790   + caddc 9791   · cmul 9793  cmin 10113   / cdiv 10529  2c2 10913  4c4 10915  cexp 12673  chil 26962   + cva 26963   · csm 26964   ·ih csp 26965  normcno 26966  0c0v 26967   cmv 26968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-hfvadd 27043  ax-hv0cl 27046  ax-hfvmul 27048  ax-hvmul0 27053  ax-hfi 27122  ax-his1 27125  ax-his2 27126  ax-his3 27127  ax-his4 27128
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-hnorm 27011  df-hvsub 27014
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