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Theorem polid2i 27232
Description: Generalized polarization identity. Generalization of Exercise 4(a) of [ReedSimon] p. 63. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polid2.1 𝐴 ∈ ℋ
polid2.2 𝐵 ∈ ℋ
polid2.3 𝐶 ∈ ℋ
polid2.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
polid2i (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)

Proof of Theorem polid2i
StepHypRef Expression
1 4cn 10948 . 2 4 ∈ ℂ
2 polid2.1 . . 3 𝐴 ∈ ℋ
3 polid2.2 . . 3 𝐵 ∈ ℋ
42, 3hicli 27156 . 2 (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
5 4ne0 10967 . 2 4 ≠ 0
6 2cn 10941 . . . 4 2 ∈ ℂ
7 polid2.3 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℋ
8 polid2.4 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℋ
97, 8hicli 27156 . . . . 5 (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
104, 9addcli 9901 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
114, 9subcli 10209 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
126, 10, 11adddii 9907 . . 3 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
13 ppncan 10175 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ·ih 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐴 ·ih 𝐵) ∈ ℂ) → (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵)))
144, 9, 4, 13mp3an 1415 . . . . . 6 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1542timesi 10997 . . . . . 6 (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐴 ·ih 𝐵))
1614, 15eqtr4i 2634 . . . . 5 (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))) = (2 · (𝐴 ·ih 𝐵))
1716oveq2i 6538 . . . 4 (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
186, 6, 4mulassi 9906 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (2 · (𝐴 ·ih 𝐵)))
19 2t2e4 11027 . . . . 5 (2 · 2) = 4
2019oveq1i 6537 . . . 4 ((2 · 2) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (4 · (𝐴 ·ih 𝐵))
2117, 18, 203eqtr2ri 2638 . . 3 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (2 · (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
222, 8hicli 27156 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
237, 3hicli 27156 . . . . . . 7 (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
2422, 23addcli 9901 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
2524, 10, 10pnncani 10228 . . . . 5 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
262, 7, 8, 3normlem8 27192 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
272, 7, 8, 3normlem9 27193 . . . . . 6 ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
2826, 27oveq12i 6539 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐶 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))))
29102timesi 10997 . . . . 5 (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
3025, 28, 293eqtr4i 2641 . . . 4 (((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷)))
31 ax-icn 9852 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
3231, 7hvmulcli 27089 . . . . . . . . 9 (i · 𝐶) ∈ ℋ
3331, 3hvmulcli 27089 . . . . . . . . 9 (i · 𝐵) ∈ ℋ
342, 32, 8, 33normlem8 27192 . . . . . . . 8 ((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
352, 32, 8, 33normlem9 27193 . . . . . . . 8 ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))) = (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
3634, 35oveq12i 6539 . . . . . . 7 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))))
3732, 33hicli 27156 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
3822, 37addcli 9901 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) ∈ ℂ
392, 33hicli 27156 . . . . . . . . 9 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) ∈ ℂ
4032, 8hicli 27156 . . . . . . . . 9 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) ∈ ℂ
4139, 40addcli 9901 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
4238, 41, 41pnncani 10228 . . . . . . 7 ((((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) − (((𝐴 ·ih 𝐷) + ((i · 𝐶) ·ih (i · 𝐵))) − ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
43412timesi 10997 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)))
44 his5 27161 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)))
4531, 2, 3, 44mp3an 1415 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵))
46 cji 13696 . . . . . . . . . . . 12 (∗‘i) = -i
4746oveq1i 6537 . . . . . . . . . . 11 ((∗‘i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
4845, 47eqtri 2631 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ·ih (i · 𝐵)) = (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))
49 ax-his3 27159 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5031, 7, 8, 49mp3an 1415 . . . . . . . . . 10 ((i · 𝐶) ·ih 𝐷) = (i · (𝐶 ·ih 𝐷))
5148, 50oveq12i 6539 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) = ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
5251oveq2i 6538 . . . . . . . 8 (2 · ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5343, 52eqtr3i 2633 . . . . . . 7 (((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih (i · 𝐵)) + ((i · 𝐶) ·ih 𝐷))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5436, 42, 533eqtri 2635 . . . . . 6 (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))) = (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
5554oveq2i 6538 . . . . 5 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
56 negicn 10134 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
5756, 4mulcli 9902 . . . . . . 7 (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
5831, 9mulcli 9902 . . . . . . 7 (i · (𝐶 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5957, 58addcli 9901 . . . . . 6 ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) ∈ ℂ
606, 31, 59mul12i 10083 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (i · (2 · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))))
6131, 57, 58adddii 9907 . . . . . . 7 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))
6231, 31mulneg2i 10329 . . . . . . . . . . 11 (i · -i) = -(i · i)
63 ixi 10508 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
6463negeqi 10126 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
65 negneg1e1 10978 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
6662, 64, 653eqtri 2635 . . . . . . . . . 10 (i · -i) = 1
6766oveq1i 6537 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (1 · (𝐴 ·ih 𝐵))
6831, 56, 4mulassi 9906 . . . . . . . . 9 ((i · -i) · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵)))
694mulid2i 9900 . . . . . . . . 9 (1 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7067, 68, 693eqtr3i 2639 . . . . . . . 8 (i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) = (𝐴 ·ih 𝐵)
7163oveq1i 6537 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷))
7231, 31, 9mulassi 9906 . . . . . . . . 9 ((i · i) · (𝐶 ·ih 𝐷)) = (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))
739mulm1i 10327 . . . . . . . . 9 (-1 · (𝐶 ·ih 𝐷)) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7471, 72, 733eqtr3i 2639 . . . . . . . 8 (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷))) = -(𝐶 ·ih 𝐷)
7570, 74oveq12i 6539 . . . . . . 7 ((i · (-i · (𝐴 ·ih 𝐵))) + (i · (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷))
764, 9negsubi 10211 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) + -(𝐶 ·ih 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7761, 75, 763eqtri 2635 . . . . . 6 (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷)))) = ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))
7877oveq2i 6538 . . . . 5 (2 · (i · ((-i · (𝐴 ·ih 𝐵)) + (i · (𝐶 ·ih 𝐷))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
7955, 60, 783eqtr2i 2637 . . . 4 (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))) = (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷)))
8030, 79oveq12i 6539 . . 3 ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) = ((2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐶 ·ih 𝐷))) + (2 · ((𝐴 ·ih 𝐵) − (𝐶 ·ih 𝐷))))
8112, 21, 803eqtr4i 2641 . 2 (4 · (𝐴 ·ih 𝐵)) = ((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵))))))
821, 4, 5, 81mvllmuli 10710 1 (𝐴 ·ih 𝐵) = (((((𝐴 + 𝐶) ·ih (𝐷 + 𝐵)) − ((𝐴 𝐶) ·ih (𝐷 𝐵))) + (i · (((𝐴 + (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 + (i · 𝐵))) − ((𝐴 (i · 𝐶)) ·ih (𝐷 (i · 𝐵)))))) / 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  cc 9791  1c1 9794  ici 9795   + caddc 9796   · cmul 9798  cmin 10118  -cneg 10119   / cdiv 10536  2c2 10920  4c4 10922  ccj 13633  chil 26994   + cva 26995   · csm 26996   ·ih csp 26997   cmv 27000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-hfvadd 27075  ax-hfvmul 27080  ax-hfi 27154  ax-his1 27157  ax-his2 27158  ax-his3 27159
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-hvsub 27046
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