Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  polsubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem polsubN 34014
Description: The polarity of a set of atoms is a projective subspace. (Contributed by NM, 23-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
polsubsp.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
polsubsp.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
polsubsp.p = (⊥𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
polsubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem polsubN
StepHypRef Expression
1 eqid 2609 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
2 eqid 2609 . . 3 (oc‘𝐾) = (oc‘𝐾)
3 polsubsp.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 eqid 2609 . . 3 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
5 polsubsp.p . . 3 = (⊥𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5polval2N 34013 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) = ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))))
7 hllat 33471 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
87adantr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9 hlop 33470 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
109adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → 𝐾 ∈ OP)
11 hlclat 33466 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
12 eqid 2609 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 3atssbase 33398 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)
14 sstr 3575 . . . . . 6 ((𝑋𝐴𝐴 ⊆ (Base‘𝐾)) → 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1513, 14mpan2 702 . . . . 5 (𝑋𝐴𝑋 ⊆ (Base‘𝐾))
1612, 1clatlubcl 16881 . . . . 5 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘𝐾)) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1711, 15, 16syl2an 492 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
1812, 2opoccl 33302 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ ((lub‘𝐾)‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾)) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
1910, 17, 18syl2anc 690 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾))
20 polsubsp.s . . . 4 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
2112, 20, 4pmapsub 33875 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
228, 19, 21syl2anc 690 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘((oc‘𝐾)‘((lub‘𝐾)‘𝑋))) ∈ 𝑆)
236, 22eqeltrd 2687 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wss 3539  cfv 5790  Basecbs 15641  occoc 15722  lubclub 16711  Latclat 16814  CLatccla 16876  OPcops 33280  Atomscatm 33371  HLchlt 33458  PSubSpcpsubsp 33603  pmapcpmap 33604  𝑃cpolN 34009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-riotaBAD 33060
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-undef 7263  df-preset 16697  df-poset 16715  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p1 16809  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33284  df-ol 33286  df-oml 33287  df-ats 33375  df-atl 33406  df-cvlat 33430  df-hlat 33459  df-psubsp 33610  df-pmap 33611  df-polarityN 34010
This theorem is referenced by:  polssatN  34015  pclss2polN  34028  psubclsubN  34047  osumcllem1N  34063
  Copyright terms: Public domain W3C validator