Theorem ppidif 24784

Description: The difference of the prime-counting function π at two points counts the number of primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppidif	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 11641	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzel2 11636	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		2z 11354	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		ifcl 4107	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
6	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ ℤ)
7	2	zred 11426	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		2re 11035	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		min2 11963	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
10	7, 8, 9	sylancl 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
11		eluz2 11637	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
12	5, 6, 10, 11	syl3anbrc 1244	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
13		ppival2g 24750	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑁) = (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
14	1, 12, 13	syl2anc 692	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
15		min1 11962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
16	7, 8, 15	sylancl 693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
17		eluz2 11637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
18	5, 2, 16, 17	syl3anbrc 1244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
19		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		elfzuzb 12275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	18, 19, 20	sylanbrc 697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
22		fzsplit 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
24	23	ineq1d 3796	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
25		indir 3856	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
26	24, 25	syl6eq 2676	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
27	26	fveq2d 6154	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) = (#‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
28	7	ltp1d 10899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
29		fzdisj 12307	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
30	28, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
31	30	ineq1d 3796	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
32		inindir 3814	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
33		0in 3946	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
34	31, 32, 33	3eqtr3g 2683	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
35		fzfi 12708	. . . . . . 7 ⊢ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
36		inss1 3816	. . . . . . 7 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
37		ssfi 8125	. . . . . . 7 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
38	35, 36, 37	mp2an 707	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
39		fzfi 12708	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
40		inss1 3816	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
41		ssfi 8125	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
42	39, 40, 41	mp2an 707	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
43		hashun 13108	. . . . . 6 ⊢ ((((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅) → (#‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
44	38, 42, 43	mp3an12 1411	. . . . 5 ⊢ ((((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅ → (#‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
45	34, 44	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (#‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
46	14, 27, 45	3eqtrd 2664	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = ((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
47		ppival2g 24750	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑀) = (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
48	2, 12, 47	syl2anc 692	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑀) = (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
49	46, 48	oveq12d 6623	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))))
50		hashcl 13084	. . . . 5 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin → (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
51	38, 50	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
52	51	nn0cni 11249	. . 3 ⊢ (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
53		hashcl 13084	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin → (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
54	42, 53	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
55	54	nn0cni 11249	. . 3 ⊢ (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
56		pncan2 10233	. . 3 ⊢ (((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ ∧ (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ) → (((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
57	52, 55, 56	mp2an 707	. 2 ⊢ (((#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (#‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
58	49, 57	syl6eq 2676	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (#‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1992   ∪ cun 3558   ∩ cin 3559   ⊆ wss 3560  ∅c0 3896  ifcif 4063   class class class wbr 4618  ‘cfv 5850  (class class class)co 6605  Fincfn 7900  ℂcc 9879  ℝcr 9880  1c1 9882   + caddc 9884   < clt 10019   ≤ cle 10020   − cmin 10211  2c2 11015  ℕ₀cn0 11237  ℤcz 11322  ℤ_≥cuz 11631  ...cfz 12265  #chash 13054  ℙcprime 15304  πcppi 24715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-sup 8293  df-inf 8294  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903  df-prm 15305  df-ppi 24721

This theorem is referenced by:  ppiub  24824  chtppilimlem1  25057