MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppinprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppinprm 24778
Description: The prime-counting function π at a non-prime. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppinprm ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (π𝐴))

Proof of Theorem ppinprm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss2 3812 . . . . . . . . . . 11 ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ℙ
2 simprr 795 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
31, 2sseldi 3581 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ℙ)
4 simprl 793 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ)
5 nelne2 2887 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
63, 4, 5syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
7 velsn 4164 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 = (𝐴 + 1))
87necon3bbii 2837 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)} ↔ 𝑥 ≠ (𝐴 + 1))
96, 8sylibr 224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ¬ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)})
10 inss1 3811 . . . . . . . . . . . 12 ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ (2...(𝐴 + 1))
1110, 2sseldi 3581 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)))
12 2z 11353 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℤ
13 zcn 11326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℂ)
15 ax-1cn 9938 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
16 pncan 10231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
1714, 15, 16sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)
18 elfzuz2 12288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (2...(𝐴 + 1)) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2))
19 uz2m1nn 11707 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
2011, 18, 193syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → ((𝐴 + 1) − 1) ∈ ℕ)
2117, 20eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ ℕ)
22 nnuz 11667 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
23 2m1e1 11079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 − 1) = 1
2423fveq2i 6151 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ‘(2 − 1)) = (ℤ‘1)
2522, 24eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . 13 ℕ = (ℤ‘(2 − 1))
2621, 25syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1)))
27 fzsuc2 12340 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ‘(2 − 1))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
2812, 26, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (2...(𝐴 + 1)) = ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
2911, 28eleqtrd 2700 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}))
30 elun 3731 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∪ {(𝐴 + 1)}) ↔ (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
3129, 30sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (𝑥 ∈ (2...𝐴) ∨ 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
3231ord 392 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → (¬ 𝑥 ∈ (2...𝐴) → 𝑥 ∈ {(𝐴 + 1)}))
339, 32mt3d 140 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ (2...𝐴))
3433, 3elind 3776 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
3534expr 642 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝑥 ∈ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) → 𝑥 ∈ ((2...𝐴) ∩ ℙ)))
3635ssrdv 3589 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) ⊆ ((2...𝐴) ∩ ℙ))
37 uzid 11646 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
3837adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ (ℤ𝐴))
39 peano2uz 11685 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴))
40 fzss2 12323 . . . . 5 ((𝐴 + 1) ∈ (ℤ𝐴) → (2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)))
41 ssrin 3816 . . . . 5 ((2...𝐴) ⊆ (2...(𝐴 + 1)) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
4238, 39, 40, 414syl 19 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...𝐴) ∩ ℙ) ⊆ ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ))
4336, 42eqssd 3600 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → ((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ) = ((2...𝐴) ∩ ℙ))
4443fveq2d 6152 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (#‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)) = (#‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
45 peano2z 11362 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
4645adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (𝐴 + 1) ∈ ℤ)
47 ppival2 24754 . . 3 ((𝐴 + 1) ∈ ℤ → (π‘(𝐴 + 1)) = (#‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
4846, 47syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (#‘((2...(𝐴 + 1)) ∩ ℙ)))
49 ppival2 24754 . . 3 (𝐴 ∈ ℤ → (π𝐴) = (#‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
5049adantr 481 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π𝐴) = (#‘((2...𝐴) ∩ ℙ)))
5144, 48, 503eqtr4d 2665 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ (𝐴 + 1) ∈ ℙ) → (π‘(𝐴 + 1)) = (π𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  cun 3553  cin 3554  wss 3555  {csn 4148  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  ...cfz 12268  #chash 13057  cprime 15309  πcppi 24720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fl 12533  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-dvds 14908  df-prm 15310  df-ppi 24726
This theorem is referenced by:  ppip1le  24787  ppi2i  24795  bposlem5  24913
  Copyright terms: Public domain W3C validator