MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppip1le Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppip1le 24975
Description: The prime-counting function π cannot locally increase faster than the identity function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppip1le (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π𝐴) + 1))

Proof of Theorem ppip1le
StepHypRef Expression
1 flcl 12679 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
2 zre 11462 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
3 peano2re 10290 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
54adantr 472 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ)
6 ppicl 24945 . . . . . . 7 (((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℕ0)
87nn0red 11433 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ)
9 ppiprm 24965 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
10 eqle 10220 . . . . 5 (((π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ∈ ℝ ∧ (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1)) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
118, 9, 10syl2anc 696 . . . 4 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
12 ppinprm 24966 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(⌊‘𝐴)))
13 ppicl 24945 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝐴) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . . . . 8 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℕ0)
1514nn0red 11433 . . . . . . 7 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
1615adantr 472 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
1716lep1d 11036 . . . . 5 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
1812, 17eqbrtrd 4750 . . . 4 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ¬ ((⌊‘𝐴) + 1) ∈ ℙ) → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
1911, 18pm2.61dan 867 . . 3 ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
201, 19syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) ≤ ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1))
21 1z 11488 . . . . 5 1 ∈ ℤ
22 fladdz 12709 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
2321, 22mpan2 709 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘(𝐴 + 1)) = ((⌊‘𝐴) + 1))
2423fveq2d 6276 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘((⌊‘𝐴) + 1)))
25 peano2re 10290 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
26 ppifl 24974 . . . 4 ((𝐴 + 1) ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
2725, 26syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘(𝐴 + 1))) = (π‘(𝐴 + 1)))
2824, 27eqtr3d 2728 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘((⌊‘𝐴) + 1)) = (π‘(𝐴 + 1)))
29 ppifl 24974 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
3029oveq1d 6748 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘(⌊‘𝐴)) + 1) = ((π𝐴) + 1))
3120, 28, 303brtr3d 4759 1 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(𝐴 + 1)) ≤ ((π𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1564  wcel 2071   class class class wbr 4728  cfv 5969  (class class class)co 6733  cr 10016  1c1 10018   + caddc 10020  cle 10156  0cn0 11373  cz 11458  cfl 12674  cprime 15476  πcppi 24908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-rep 4847  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034  ax-cnex 10073  ax-resscn 10074  ax-1cn 10075  ax-icn 10076  ax-addcl 10077  ax-addrcl 10078  ax-mulcl 10079  ax-mulrcl 10080  ax-mulcom 10081  ax-addass 10082  ax-mulass 10083  ax-distr 10084  ax-i2m1 10085  ax-1ne0 10086  ax-1rid 10087  ax-rnegex 10088  ax-rrecex 10089  ax-cnre 10090  ax-pre-lttri 10091  ax-pre-lttrn 10092  ax-pre-ltadd 10093  ax-pre-mulgt0 10094  ax-pre-sup 10095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-nel 2968  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rmo 2990  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-int 4552  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-riota 6694  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-1st 7253  df-2nd 7254  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-2o 7649  df-oadd 7652  df-er 7830  df-en 8041  df-dom 8042  df-sdom 8043  df-fin 8044  df-sup 8432  df-inf 8433  df-card 8846  df-cda 9071  df-pnf 10157  df-mnf 10158  df-xr 10159  df-ltxr 10160  df-le 10161  df-sub 10349  df-neg 10350  df-div 10766  df-nn 11102  df-2 11160  df-3 11161  df-n0 11374  df-z 11459  df-uz 11769  df-rp 11915  df-icc 12264  df-fz 12409  df-fl 12676  df-seq 12885  df-exp 12944  df-hash 13201  df-cj 13927  df-re 13928  df-im 13929  df-sqrt 14063  df-abs 14064  df-dvds 15072  df-prm 15477  df-ppi 24914
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator