MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiub 24974
Description: An upper bound on the prime-counting function π, which counts the number of primes less than 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppiub ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))

Proof of Theorem ppiub
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3re 11132 . . 3 3 ∈ ℝ
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℝ)
3 simpl 472 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
4 ppicl 24902 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℕ0)
54nn0red 11390 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → (π𝑁) ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ∈ ℝ)
7 2re 11128 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
8 resubcl 10383 . . . . . 6 (((π𝑁) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
96, 7, 8sylancl 695 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ∈ ℝ)
10 fzfi 12811 . . . . . . . . 9 (4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin
11 ssrab2 3720 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
12 ssfi 8221 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin)
1310, 11, 12mp2an 708 . . . . . . . 8 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin
14 hashcl 13185 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℕ0
1615nn0rei 11341 . . . . . 6 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ∈ ℝ)
18 3nn 11224 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
19 nndivre 11094 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2018, 19mpan2 707 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
22 ppifl 24931 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
2322adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘(⌊‘𝑁)) = (π𝑁))
24 ppi3 24942 . . . . . . . . 9 (π‘3) = 2
2524a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π‘3) = 2)
2623, 25oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = ((π𝑁) − 2))
27 3z 11448 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
2827a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ∈ ℤ)
29 flcl 12636 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
3029adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℤ)
31 flge 12646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3227, 31mpan2 707 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (3 ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3332biimpa 500 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 3 ≤ (⌊‘𝑁))
34 eluz2 11731 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (⌊‘𝑁) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (⌊‘𝑁)))
3528, 30, 33, 34syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3))
36 ppidif 24934 . . . . . . . . 9 ((⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘3) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (#‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (#‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
38 df-4 11119 . . . . . . . . . . 11 4 = (3 + 1)
3938oveq1i 6700 . . . . . . . . . 10 (4...(⌊‘𝑁)) = ((3 + 1)...(⌊‘𝑁))
4039ineq1i 3843 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = (((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)
4140fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) = (#‘(((3 + 1)...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ))
4237, 41syl6eqr 2703 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π‘(⌊‘𝑁)) − (π‘3)) = (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
4326, 42eqtr3d 2687 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) = (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)))
44 dfin5 3615 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ}
45 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 4 ≤ 𝑘)
46 ppiublem2 24973 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑘) → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5})
4746expcom 450 . . . . . . . . . . 11 (4 ≤ 𝑘 → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4845, 47syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → (𝑘 ∈ ℙ → (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}))
4948ss2rabi 3717 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 𝑘 ∈ ℙ} ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
5044, 49eqsstri 3668 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
51 ssdomg 8043 . . . . . . . 8 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin → (((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5213, 50, 51mp2 9 . . . . . . 7 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}
53 inss1 3866 . . . . . . . . 9 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
54 ssfi 8221 . . . . . . . . 9 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin)
5510, 53, 54mp2an 708 . . . . . . . 8 ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin
56 hashdom 13206 . . . . . . . 8 ((((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} ∈ Fin) → ((#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
5755, 13, 56mp2an 708 . . . . . . 7 ((#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ↔ ((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ) ≼ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5852, 57mpbir 221 . . . . . 6 (#‘((4...(⌊‘𝑁)) ∩ ℙ)) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}})
5943, 58syl6eqbr 4724 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}))
60 reflcl 12637 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
6160adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ ℝ)
62 peano2rem 10386 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘𝑁) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ)
64 6nn 11227 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
65 nndivre 11094 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
6663, 64, 65sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ)
67 reflcl 12637 . . . . . . . 8 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
6866, 67syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℝ)
69 5re 11137 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
70 resubcl 10383 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
7161, 69, 70sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ)
72 nndivre 11094 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
7371, 64, 72sylancl 695 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ)
74 reflcl 12637 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
7573, 74syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ)
76 peano2re 10247 . . . . . . . 8 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
7775, 76syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ∈ ℝ)
78 peano2rem 10386 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
7978adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
80 nndivre 11094 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
8179, 64, 80sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℝ)
82 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
83 resubcl 10383 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 5 ∈ ℝ) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
8482, 69, 83sylancl 695 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℝ)
85 nndivre 11094 . . . . . . . . 9 (((𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
8684, 64, 85sylancl 695 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ)
87 peano2re 10247 . . . . . . . 8 (((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℝ → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
8886, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 5) / 6) + 1) ∈ ℝ)
89 flle 12640 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
9066, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6))
91 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
9291a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
93 flle 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9493adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ≤ 𝑁)
9561, 82, 92, 94lesub1dd 10681 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1))
96 6re 11139 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℝ)
98 6pos 11157 . . . . . . . . . . 11 0 < 6
9998a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 0 < 6)
100 lediv1 10926 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 1) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10163, 79, 97, 99, 100syl112anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) ≤ (𝑁 − 1) ↔ (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6)))
10295, 101mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 1) / 6) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
10368, 66, 81, 90, 102letrd 10232 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ≤ ((𝑁 − 1) / 6))
104 flle 12640 . . . . . . . . . 10 ((((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ∈ ℝ → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10573, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6))
10669a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℝ)
10761, 82, 106, 94lesub1dd 10681 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5))
108 lediv1 10926 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘𝑁) − 5) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
10971, 84, 97, 99, 108syl112anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) ≤ (𝑁 − 5) ↔ (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6)))
110107, 109mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((⌊‘𝑁) − 5) / 6) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11175, 73, 86, 105, 110letrd 10232 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ≤ ((𝑁 − 5) / 6))
11275, 86, 92, 111leadd1dd 10679 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1) ≤ (((𝑁 − 5) / 6) + 1))
11368, 77, 81, 88, 103, 112le2addd 10684 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)) ≤ (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
114 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 mod 6) ∈ V
115114elpr 4231 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 mod 6) ∈ {1, 5} ↔ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5))
116115rabbii 3216 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
117 unrab 3931 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∨ (𝑘 mod 6) = 5)}
118116, 117eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}} = ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})
119118fveq2i 6232 . . . . . . . 8 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = (#‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
120 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
121 ssfi 8221 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin)
12210, 120, 121mp2an 708 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin
123 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))
124 ssfi 8221 . . . . . . . . . 10 (((4...(⌊‘𝑁)) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ⊆ (4...(⌊‘𝑁))) → {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin)
12510, 123, 124mp2an 708 . . . . . . . . 9 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin
126 inrab 3932 . . . . . . . . . 10 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)}
127 rabeq0 3990 . . . . . . . . . . 11 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅ ↔ ∀𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
128 1lt5 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 5
12991, 128ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 5
130 eqtr2 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5) → 1 = 5)
131130necon3ai 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 5 → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
132129, 131ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)
133132a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ¬ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5))
134127, 133mprgbir 2956 . . . . . . . . . 10 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ ((𝑘 mod 6) = 1 ∧ (𝑘 mod 6) = 5)} = ∅
135126, 134eqtri 2673 . . . . . . . . 9 ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅
136 hashun 13209 . . . . . . . . 9 (({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} ∈ Fin ∧ ({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∩ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ∅) → (#‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})))
137122, 125, 135, 136mp3an 1464 . . . . . . . 8 (#‘({𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} ∪ {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
138119, 137eqtri 2673 . . . . . . 7 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}))
139 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
140 nnrp 11880 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (6 ∈ ℕ → 6 ∈ ℝ+)
14164, 140ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ ℝ+
142 0le1 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 1
143 1lt6 11246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 6
144 modid 12735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 1 ∧ 1 < 6)) → (1 mod 6) = 1)
14591, 141, 142, 143, 144mp4an 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 mod 6) = 1
146145eqeq2i 2663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 1)
147 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
148 moddvds 15038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
14964, 147, 148mp3an13 1455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (1 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
150146, 149syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
151139, 150syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 1 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 1)))
152151rabbiia 3215 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}
153152fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)})
15464a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 ∈ ℕ)
155 4z 11449 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℤ
156155a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
15738oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (4 − 1) = ((3 + 1) − 1)
158 3cn 11133 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℂ
159 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℂ
160158, 159pncan3oi 10335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 + 1) − 1) = 3
161157, 160eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 (4 − 1) = 3
162161fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘(4 − 1)) = (ℤ‘3)
16335, 162syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘𝑁) ∈ (ℤ‘(4 − 1)))
164147a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℤ)
165154, 156, 163, 164hashdvds 15527 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 1)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
166153, 165syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))))
167 df-3 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (2 + 1)
168161, 167eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 − 1) = (2 + 1)
169168oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 − 1) − 1) = ((2 + 1) − 1)
170 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
171170, 159pncan3oi 10335 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 + 1) − 1) = 2
172169, 171eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 ((4 − 1) − 1) = 2
173172oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 1) / 6) = (2 / 6)
174173fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = (⌊‘(2 / 6))
175 0re 10078 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
17664nnne0i 11093 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ≠ 0
1777, 96, 176redivcli 10830 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ∈ ℝ
178 2pos 11150 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 2
1797, 96, 178, 98divgt0ii 10979 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < (2 / 6)
180175, 177, 179ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ (2 / 6)
181 2lt6 11245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 6
182 6cn 11140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℂ
183182mulid1i 10080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 · 1) = 6
184181, 183breqtrri 4712 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < (6 · 1)
18596, 98pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)
186 ltdivmul 10936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1)))
1877, 91, 185, 186mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 / 6) < 1 ↔ 2 < (6 · 1))
188184, 187mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) < 1
189 1e0p1 11590 . . . . . . . . . . . . . 14 1 = (0 + 1)
190188, 189breqtri 4710 . . . . . . . . . . . . 13 (2 / 6) < (0 + 1)
191 0z 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℤ
192 flbi 12657 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 / 6) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1))))
193177, 191, 192mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(2 / 6)) = 0 ↔ (0 ≤ (2 / 6) ∧ (2 / 6) < (0 + 1)))
194180, 190, 193mpbir2an 975 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(2 / 6)) = 0
195174, 194eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6)) = 0
196195oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0)
19766flcld 12639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℤ)
198197zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) ∈ ℂ)
199198subid1d 10419 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − 0) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
200196, 199syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 1) / 6))) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
201166, 200eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) = (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)))
202 5pos 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 5
203175, 69, 202ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ 5
204 5lt6 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 < 6
205 modid 12735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 5 ∧ 5 < 6)) → (5 mod 6) = 5)
20669, 141, 203, 204, 205mp4an 709 . . . . . . . . . . . . . . 15 (5 mod 6) = 5
207206eqeq2i 2663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ (𝑘 mod 6) = 5)
208 5nn 11226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ
209208nnzi 11439 . . . . . . . . . . . . . . 15 5 ∈ ℤ
210 moddvds 15038 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((6 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
21164, 209, 210mp3an13 1455 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = (5 mod 6) ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
212207, 211syl5bbr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℤ → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
213139, 212syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) → ((𝑘 mod 6) = 5 ↔ 6 ∥ (𝑘 − 5)))
214213rabbiia 3215 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5} = {𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}
215214fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)})
216209a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 5 ∈ ℤ)
217154, 156, 163, 216hashdvds 15527 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ 6 ∥ (𝑘 − 5)}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
218215, 217syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))))
219161oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((4 − 1) − 5) = (3 − 5)
220 5cn 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ ℂ
221220, 158negsubdi2i 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = (3 − 5)
222 3p2e5 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 + 2) = 5
223222oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = (5 − 3)
224 pncan2 10326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((3 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((3 + 2) − 3) = 2)
225158, 170, 224mp2an 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 + 2) − 3) = 2
226223, 225eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (5 − 3) = 2
227226negeqi 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -(5 − 3) = -2
228219, 221, 2273eqtr2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((4 − 1) − 5) = -2
229228oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . 14 (((4 − 1) − 5) / 6) = (-2 / 6)
230 divneg 10757 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) → -(2 / 6) = (-2 / 6))
231170, 182, 176, 230mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) = (-2 / 6)
232229, 231eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . 13 (((4 − 1) − 5) / 6) = -(2 / 6)
233232fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = (⌊‘-(2 / 6))
234177, 91, 188ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 / 6) ≤ 1
235177, 91lenegi 10611 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 / 6) ≤ 1 ↔ -1 ≤ -(2 / 6))
236234, 235mpbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 -1 ≤ -(2 / 6)
237175, 177ltnegi 10610 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 < (2 / 6) ↔ -(2 / 6) < -0)
238179, 237mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) < -0
239 neg0 10365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -0 = 0
240 1pneg1e0 11167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 + -1) = 0
241239, 240eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 -0 = (1 + -1)
242 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
243242, 159addcomi 10265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 + 1) = (1 + -1)
244241, 243eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . 14 -0 = (-1 + 1)
245238, 244breqtri 4710 . . . . . . . . . . . . 13 -(2 / 6) < (-1 + 1)
246177renegcli 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 -(2 / 6) ∈ ℝ
247 neg1z 11451 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 ∈ ℤ
248 flbi 12657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((-(2 / 6) ∈ ℝ ∧ -1 ∈ ℤ) → ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1))))
249246, 247, 248mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘-(2 / 6)) = -1 ↔ (-1 ≤ -(2 / 6) ∧ -(2 / 6) < (-1 + 1)))
250236, 245, 249mpbir2an 975 . . . . . . . . . . . 12 (⌊‘-(2 / 6)) = -1
251233, 250eqtri 2673 . . . . . . . . . . 11 (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6)) = -1
252251oveq2i 6701 . . . . . . . . . 10 ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1)
25373flcld 12639 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℤ)
254253zcnd 11521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ)
255 subneg 10368 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
256254, 159, 255sylancl 695 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − -1) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
257252, 256syl5eq 2697 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) − (⌊‘(((4 − 1) − 5) / 6))) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
258218, 257eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1))
259201, 258oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 1}) + (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) = 5})) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
260138, 259syl5eq 2697 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) = ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 1) / 6)) + ((⌊‘(((⌊‘𝑁) − 5) / 6)) + 1)))
26182recnd 10106 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
2622612timesd 11313 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
263 df-6 11121 . . . . . . . . . . . . . 14 6 = (5 + 1)
264220, 159addcomi 10265 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = (1 + 5)
265263, 264eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (1 + 5)
266265a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 6 = (1 + 5))
267262, 266oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)))
268 addsub4 10362 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ)) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
269159, 220, 268mpanr12 721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
270261, 261, 269syl2anc 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 + 𝑁) − (1 + 5)) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
271267, 270eqtrd 2685 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) − 6) = ((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)))
272271oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6))
273 mulcl 10058 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
274170, 261, 273sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
275182, 176pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)
276 divsubdir 10759 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
277182, 275, 276mp3an23 1456 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
278274, 277syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)))
279 3t2e6 11217 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
280158, 170mulcomi 10084 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = (2 · 3)
281279, 280eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . 13 6 = (2 · 3)
282281oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑁) / 6) = ((2 · 𝑁) / (2 · 3))
283 3ne0 11153 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≠ 0
284158, 283pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
285 2cnne0 11280 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
286 divcan5 10765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
287284, 285, 286mp3an23 1456 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
288261, 287syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / (2 · 3)) = (𝑁 / 3))
289282, 288syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((2 · 𝑁) / 6) = (𝑁 / 3))
290182, 176dividi 10796 . . . . . . . . . . . 12 (6 / 6) = 1
291290a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (6 / 6) = 1)
292289, 291oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) / 6) − (6 / 6)) = ((𝑁 / 3) − 1))
293278, 292eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((2 · 𝑁) − 6) / 6) = ((𝑁 / 3) − 1))
29479recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
29584recnd 10106 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 − 5) ∈ ℂ)
296 divdir 10748 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ ∧ (6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0)) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
297275, 296mp3an3 1453 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 5) ∈ ℂ) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
298294, 295, 297syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 − 1) + (𝑁 − 5)) / 6) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
299272, 293, 2983eqtr3d 2693 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 3) − 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)))
300299oveq1d 6705 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1))
30121recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) ∈ ℂ)
302 npcan 10328 . . . . . . . 8 (((𝑁 / 3) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
303301, 159, 302sylancl 695 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((𝑁 / 3) − 1) + 1) = (𝑁 / 3))
30481recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 6) ∈ ℂ)
30586recnd 10106 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((𝑁 − 5) / 6) ∈ ℂ)
306159a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℂ)
307304, 305, 306addassd 10100 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((((𝑁 − 1) / 6) + ((𝑁 − 5) / 6)) + 1) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
308300, 303, 3073eqtr3d 2693 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 3) = (((𝑁 − 1) / 6) + (((𝑁 − 5) / 6) + 1)))
309113, 260, 3083brtr4d 4717 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (#‘{𝑘 ∈ (4...(⌊‘𝑁)) ∣ (𝑘 mod 6) ∈ {1, 5}}) ≤ (𝑁 / 3))
3109, 17, 21, 59, 309letrd 10232 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → ((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3))
3117a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
3126, 311, 21lesubaddd 10662 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (((π𝑁) − 2) ≤ (𝑁 / 3) ↔ (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
313310, 312mpbid 222 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
314313adantlr 751 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 3 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3155ad2antrr 762 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ∈ ℝ)
3167a1i 11 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ∈ ℝ)
31720ad2antrr 762 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (𝑁 / 3) ∈ ℝ)
318 readdcl 10057 . . . 4 (((𝑁 / 3) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
319317, 7, 318sylancl 695 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → ((𝑁 / 3) + 2) ∈ ℝ)
320 ppiwordi 24933 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
3211, 320mp3an2 1452 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
322321adantlr 751 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ (π‘3))
323322, 24syl6breq 4726 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ 2)
324 3pos 11152 . . . . . 6 0 < 3
325 divge0 10930 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
3261, 324, 325mpanr12 721 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
327326adantr 480 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 0 ≤ (𝑁 / 3))
328 addge02 10577 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 3) ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
3297, 317, 328sylancr 696 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (0 ≤ (𝑁 / 3) ↔ 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2)))
330327, 329mpbid 222 . . 3 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → 2 ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
331315, 316, 319, 323, 330letrd 10232 . 2 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ 𝑁 ≤ 3) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
3322, 3, 314, 331lecasei 10181 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) → (π𝑁) ≤ ((𝑁 / 3) + 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cdom 7995  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  +crp 11870  ...cfz 12364  cfl 12631   mod cmo 12708  #chash 13157  cdvds 15027  cprime 15432  πcppi 24865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-ppi 24871
This theorem is referenced by:  bposlem5  25058
  Copyright terms: Public domain W3C validator