MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem1 24671
Description: Lemma for ppiub 24673. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
ppiublem1.2 𝑀 ∈ ℕ0
ppiublem1.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
ppiublem1.4 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
Assertion
Ref Expression
ppiublem1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
21simpli 472 . . . . 5 𝑁 ≤ 6
3 ppiublem1.3 . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
4 df-6 10932 . . . . 5 6 = (5 + 1)
52, 3, 43brtr3i 4606 . . . 4 (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1)
6 ppiublem1.2 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0rei 11152 . . . . 5 𝑀 ∈ ℝ
8 5re 10948 . . . . 5 5 ∈ ℝ
9 1re 9895 . . . . 5 1 ∈ ℝ
107, 8, 9leadd1i 10434 . . . 4 (𝑀 ≤ 5 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1))
115, 10mpbir 219 . . 3 𝑀 ≤ 5
12 6re 10950 . . . 4 6 ∈ ℝ
13 5lt6 11053 . . . 4 5 < 6
148, 12, 13ltleii 10011 . . 3 5 ≤ 6
157, 8, 12letri 10017 . . 3 ((𝑀 ≤ 5 ∧ 5 ≤ 6) → 𝑀 ≤ 6)
1611, 14, 15mp2an 703 . 2 𝑀 ≤ 6
176nn0zi 11237 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ
18 5nn 11037 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
1918nnzi 11236 . . . . 5 5 ∈ ℤ
20 eluz2 11527 . . . . 5 (5 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 5))
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1236 . . . 4 5 ∈ (ℤ𝑀)
22 elfzp12 12245 . . . 4 (5 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)))
24 ppiublem1.4 . . . . 5 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
25 prmz 15175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2625adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
27 2nn 11034 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
28 6nn 11038 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
29 3z 11245 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℤ
30 2z 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
31 dvdsmul2 14790 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (3 · 2))
3229, 30, 31mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∥ (3 · 2)
33 3t2e6 11028 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · 2) = 6
3432, 33breqtri 4602 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ 6
35 dvdsmod 14836 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 6) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3634, 35mpan2 702 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3727, 28, 36mp3an12 1405 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3826, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
39 uzid 11536 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4030, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (ℤ‘2)
41 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
42 dvdsprm 15201 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4340, 41, 42sylancr 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4438, 43bitrd 266 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 = 𝑃))
45 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
46 breq2 4581 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑃 → (4 ≤ 2 ↔ 4 ≤ 𝑃))
4745, 46syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → 4 ≤ 2))
48 2lt4 11047 . . . . . . . . . . . 12 2 < 4
49 2re 10939 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
50 4re 10946 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
5149, 50ltnlei 10009 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 2)
5248, 51mpbi 218 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 2
5352pm2.21i 114 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 2 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
5447, 53syl6 34 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
5544, 54sylbid 228 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
56 breq2 4581 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑀))
5756imbi1d 329 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5855, 57syl5ibcom 233 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5958com3r 84 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
60 3nn 11035 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℕ
61 dvdsmul1 14789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
6229, 30, 61mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∥ (3 · 2)
6362, 33breqtri 4602 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∥ 6
64 dvdsmod 14836 . . . . . . . . . . . . 13 (((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ 6) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6563, 64mpan2 702 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6660, 28, 65mp3an12 1405 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6726, 66syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
68 df-3 10929 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
69 peano2uz 11575 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ (ℤ‘2) → (2 + 1) ∈ (ℤ‘2))
7040, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) ∈ (ℤ‘2)
7168, 70eqeltri 2683 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ (ℤ‘2)
72 dvdsprm 15201 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7371, 41, 72sylancr 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7467, 73bitrd 266 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 = 𝑃))
75 breq2 4581 . . . . . . . . . . 11 (3 = 𝑃 → (4 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 𝑃))
7645, 75syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → 4 ≤ 3))
77 3lt4 11046 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
78 3re 10943 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
7978, 50ltnlei 10009 . . . . . . . . . . . 12 (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3)
8077, 79mpbi 218 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 3
8180pm2.21i 114 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 3 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
8276, 81syl6 34 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8374, 82sylbid 228 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
84 breq2 4581 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑀))
8584imbi1d 329 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8683, 85syl5ibcom 233 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8786com3r 84 . . . . . 6 (3 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
88 eleq1a 2682 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8988a1d 25 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
9059, 87, 893jaoi 1382 . . . . 5 ((2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5}) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
9124, 90ax-mp 5 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
923oveq1i 6536 . . . . . 6 (𝑁...5) = ((𝑀 + 1)...5)
9392eleq2i 2679 . . . . 5 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) ↔ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))
941simpri 476 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9593, 94syl5bir 231 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9691, 95jaod 393 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9723, 96syl5bi 230 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9816, 97pm3.2i 469 1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3o 1029  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  {cpr 4126   class class class wbr 4577  cfv 5789  (class class class)co 6526  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   < clt 9930  cle 9931  cn 10869  2c2 10919  3c3 10920  4c4 10921  5c5 10922  6c6 10923  0cn0 11141  cz 11212  cuz 11521  ...cfz 12154   mod cmo 12487  cdvds 14769  cprime 15171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10536  df-nn 10870  df-2 10928  df-3 10929  df-4 10930  df-5 10931  df-6 10932  df-n0 11142  df-z 11213  df-uz 11522  df-rp 11667  df-fz 12155  df-fl 12412  df-mod 12488  df-seq 12621  df-exp 12680  df-cj 13635  df-re 13636  df-im 13637  df-sqrt 13771  df-abs 13772  df-dvds 14770  df-prm 15172
This theorem is referenced by:  ppiublem2  24672
  Copyright terms: Public domain W3C validator