MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppiublem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppiublem1 25705
Description: Lemma for ppiub 25707. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ppiublem1.1 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
ppiublem1.2 𝑀 ∈ ℕ0
ppiublem1.3 𝑁 = (𝑀 + 1)
ppiublem1.4 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
Assertion
Ref Expression
ppiublem1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))

Proof of Theorem ppiublem1
StepHypRef Expression
1 ppiublem1.1 . . . . . 6 (𝑁 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
21simpli 484 . . . . 5 𝑁 ≤ 6
3 ppiublem1.3 . . . . 5 𝑁 = (𝑀 + 1)
4 df-6 11692 . . . . 5 6 = (5 + 1)
52, 3, 43brtr3i 5086 . . . 4 (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1)
6 ppiublem1.2 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
76nn0rei 11896 . . . . 5 𝑀 ∈ ℝ
8 5re 11712 . . . . 5 5 ∈ ℝ
9 1re 10629 . . . . 5 1 ∈ ℝ
107, 8, 9leadd1i 11183 . . . 4 (𝑀 ≤ 5 ↔ (𝑀 + 1) ≤ (5 + 1))
115, 10mpbir 232 . . 3 𝑀 ≤ 5
12 6re 11715 . . . 4 6 ∈ ℝ
13 5lt6 11806 . . . 4 5 < 6
148, 12, 13ltleii 10751 . . 3 5 ≤ 6
157, 8, 12letri 10757 . . 3 ((𝑀 ≤ 5 ∧ 5 ≤ 6) → 𝑀 ≤ 6)
1611, 14, 15mp2an 688 . 2 𝑀 ≤ 6
176nn0zi 11995 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ
18 5nn 11711 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
1918nnzi 11994 . . . . 5 5 ∈ ℤ
20 eluz2 12237 . . . . 5 (5 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 5))
2117, 19, 11, 20mpbir3an 1333 . . . 4 5 ∈ (ℤ𝑀)
22 elfzp12 12974 . . . 4 (5 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))))
2321, 22ax-mp 5 . . 3 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) ↔ ((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)))
24 ppiublem1.4 . . . . 5 (2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5})
25 2nn 11698 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
26 6nn 11714 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℕ
27 prmz 16007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
2827adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
29 3z 12003 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
30 2z 12002 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
31 dvdsmul2 15620 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (3 · 2))
3229, 30, 31mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∥ (3 · 2)
33 3t2e6 11791 . . . . . . . . . . . . 13 (3 · 2) = 6
3432, 33breqtri 5082 . . . . . . . . . . . 12 2 ∥ 6
35 dvdsmod 15666 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ 6) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3634, 35mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
3725, 26, 28, 36mp3an12i 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑃))
38 uzid 12246 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
3930, 38ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (ℤ‘2)
40 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ ℙ)
41 dvdsprm 16035 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4239, 40, 41sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ 𝑃 ↔ 2 = 𝑃))
4337, 42bitrd 280 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 = 𝑃))
44 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → 4 ≤ 𝑃)
45 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (2 = 𝑃 → (4 ≤ 2 ↔ 4 ≤ 𝑃))
4644, 45syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → 4 ≤ 2))
47 2lt4 11800 . . . . . . . . . . . 12 2 < 4
48 2re 11699 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
49 4re 11709 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
5048, 49ltnlei 10749 . . . . . . . . . . . 12 (2 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 2)
5147, 50mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 2
5251pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 2 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
5346, 52syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
5443, 53sylbid 241 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
55 breq2 5061 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 2 ∥ 𝑀))
5655imbi1d 343 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((2 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5754, 56syl5ibcom 246 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (2 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
5857com3r 87 . . . . . 6 (2 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
59 3nn 11704 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
60 dvdsmul1 15619 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 3 ∥ (3 · 2))
6129, 30, 60mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∥ (3 · 2)
6261, 33breqtri 5082 . . . . . . . . . . . 12 3 ∥ 6
63 dvdsmod 15666 . . . . . . . . . . . 12 (((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ 3 ∥ 6) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6462, 63mpan2 687 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℕ ∧ 6 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
6559, 26, 28, 64mp3an12i 1456 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑃))
66 df-3 11689 . . . . . . . . . . . 12 3 = (2 + 1)
67 peano2uz 12289 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ (ℤ‘2) → (2 + 1) ∈ (ℤ‘2))
6839, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (2 + 1) ∈ (ℤ‘2)
6966, 68eqeltri 2906 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ (ℤ‘2)
70 dvdsprm 16035 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7169, 40, 70sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ 𝑃 ↔ 3 = 𝑃))
7265, 71bitrd 280 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 = 𝑃))
73 breq2 5061 . . . . . . . . . . 11 (3 = 𝑃 → (4 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 𝑃))
7444, 73syl5ibrcom 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → 4 ≤ 3))
75 3lt4 11799 . . . . . . . . . . . 12 3 < 4
76 3re 11705 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℝ
7776, 49ltnlei 10749 . . . . . . . . . . . 12 (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3)
7875, 77mpbi 231 . . . . . . . . . . 11 ¬ 4 ≤ 3
7978pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 (4 ≤ 3 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})
8074, 79syl6 35 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 = 𝑃 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8172, 80sylbid 241 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
82 breq2 5061 . . . . . . . . 9 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ (𝑃 mod 6) ↔ 3 ∥ 𝑀))
8382imbi1d 343 . . . . . . . 8 ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → ((3 ∥ (𝑃 mod 6) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}) ↔ (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8481, 83syl5ibcom 246 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (3 ∥ 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8584com3r 87 . . . . . 6 (3 ∥ 𝑀 → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
86 eleq1a 2905 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
8786a1d 25 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {1, 5} → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8858, 85, 873jaoi 1419 . . . . 5 ((2 ∥ 𝑀 ∨ 3 ∥ 𝑀𝑀 ∈ {1, 5}) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
8924, 88ax-mp 5 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) = 𝑀 → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
903oveq1i 7155 . . . . . 6 (𝑁...5) = ((𝑀 + 1)...5)
9190eleq2i 2901 . . . . 5 ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) ↔ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5))
921simpri 486 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑁...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9391, 92syl5bir 244 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9489, 93jaod 853 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → (((𝑃 mod 6) = 𝑀 ∨ (𝑃 mod 6) ∈ ((𝑀 + 1)...5)) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9523, 94syl5bi 243 . 2 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5}))
9616, 95pm3.2i 471 1 (𝑀 ≤ 6 ∧ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 4 ≤ 𝑃) → ((𝑃 mod 6) ∈ (𝑀...5) → (𝑃 mod 6) ∈ {1, 5})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3o 1078  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  4c4 11682  5c5 11683  6c6 11684  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  ...cfz 12880   mod cmo 13225  cdvds 15595  cprime 16003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-dvds 15596  df-prm 16004
This theorem is referenced by:  ppiublem2  25706
  Copyright terms: Public domain W3C validator